Questão 13 (2º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4) da 2ª etapa da UFG 2011

Question

Ao deparar-se com a expressão \frac{3410}{2+\sqrt{2}} e não dispondo de uma calculadora, um estudante substituiu \sqrt{2} por 1{,}41 e efetuou a divisão, obtendo uma aproximação para a expressão. Um segundo estudante, antes de efetuar a divisão, racionalizou a expressão, eliminando o radical do denominador. Depois, também substituiu \sqrt{2} por 1{,}41 e efetuou as operações, obtendo, para sua surpresa, uma aproximação diferente para a mesma expressão.

Considerando o exposto, indique por A a aproximação obtida pelo primeiro estudante, por B a obtida pelo segundo e por C o valor exato da expressão que os estudantes não tinham como calcular. Considerando que 1{,}41 < \sqrt{2}, coloque A, B e C em ordem crescente, sendo A e B números racionais e C um número irracional, e justifique matematicamente qual dos dois estudantes obteve o valor mais próximo do valor exato da expressão.
(5,0 pontos)

Answer 1

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Questão 13 (2º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4) da 2ª etapa da UFG 2011

2º semestre · 1º dia · Matemática: Potenciação e radiciação

Ao deparar-se com a expressão \frac{3410}{2+\sqrt{2}} e não dispondo de uma calculadora, um estudante substituiu \sqrt{2} por 1{,}41 e efetuou a divisão, obtendo uma aproximação para a expressão. Um segundo estudante, antes de efetuar a divisão, racionalizou a expressão, eliminando o radical do denominador. Depois, também substituiu \sqrt{2} por 1{,}41 e efetuou as operações, obtendo, para sua surpresa, uma aproximação diferente para a mesma expressão.

Considerando o exposto, indique por A a aproximação obtida pelo primeiro estudante, por B a obtida pelo segundo e por C o valor exato da expressão que os estudantes não tinham como calcular. Considerando que 1{,}41 < \sqrt{2}, coloque A, B e C em ordem crescente, sendo A e B números racionais e C um número irracional, e justifique matematicamente qual dos dois estudantes obteve o valor mais próximo do valor exato da expressão.
(5,0 pontos)

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Resolução comentada

a) Primeiro calculamos A e B e depois comparamos com C.

Aproximação do 1º estudante:

A=\frac{3410}{2+1{,}41}=\frac{3410}{3{,}41}=1000

Aproximação do 2º estudante. Racionalizando:

C=\frac{3410}{2+\sqrt2}\cdot\frac{2-\sqrt2}{2-\sqrt2}=\frac{3410(2-\sqrt2)}{4-2}=1705(2-\sqrt2)=3410-1705\sqrt2

Substituindo \sqrt2 por 1{,}41:

B=3410-1705\cdot 1{,}41=3410-2404{,}05=1005{,}95

Ordem. Como \sqrt2>1{,}41, temos 2+\sqrt2>3{,}41. Logo:

C=\frac{3410}{2+\sqrt2}<\frac{3410}{3{,}41}=A

Por outro lado, C=3410-1705\sqrt2<3410-1705\cdot1{,}41=B, porque \sqrt2>1{,}41. Já vimos que A=1000<1005{,}95=B. Portanto:

C<A<B

Qual está mais próximo? Seja d=\sqrt2-1{,}41>0. Então:

B-C=1705\,(\sqrt2-1{,}41)=1705\,d

A-C=\frac{3410}{3{,}41}-\frac{3410}{2+\sqrt2}=3410\cdot\frac{(2+\sqrt2)-3{,}41}{3{,}41\,(2+\sqrt2)}=\frac{1000\,d}{2+\sqrt2}

Como 2+\sqrt2>3{,}41, vale A-C<\dfrac{1000\,d}{3{,}41}<294\,d<1705\,d=B-C.

Assim A-C<B-C, e o 1º estudante chegou mais perto do valor exato.

Conferindo numericamente, com \sqrt2\approx1{,}41421: C\approx 998{,}77. Então A-C\approx1{,}23 e B-C\approx7{,}18.

Ordem crescente: C<A<B; o 1º estudante obteve a aproximação mais próxima.

Assunto: Potenciação e radiciação.

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Questão 13 no caderno Grupos 3 e 4 da 2ª etapa da UFG 2011

Fonte: UFG 2ª etapa 2011 · 2º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4. Prova oficial ↗