Questão 11 (1º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2011

Question

O esquema a seguir representa um método de irrigação em que uma haste, dividida em n segmentos de um metro cada, gira em torno de um eixo perpendicular a uma região plana, borrifando água nas coroas circulares varridas pelos segmentos da haste, conforme a figura.

Para a irrigação, os aspersores (borrifadores de água) são distribuídos sobre a haste e cada um borrifa a mesma quantidade de água por minuto. O primeiro segmento da haste, entre 0 e 1 m, tem 3 aspersores e cada coroa circular deve receber água na mesma proporção, por \text{m}^2, que recebe o círculo central varrido pelo primeiro segmento. Para isso, basta controlar a quantidade de aspersores em cada segmento da haste. Com base nestas informações, calcule a

Esquema de irrigação em círculos concêntricos centrados no ponto 0. Uma haste horizontal parte da origem e é subdividida em marcações de 0 a 1, 2, 3, 4, reticências (...), e termina em n, definindo coroas circulares sombreadas alternadamente. Uma seta aponta para a linha indicando a "Haste".

a) quantidade de aspersores a serem colocados sobre o terceiro segmento da haste, ou seja, entre 2 m e 3 m do centro; (2,0 pontos)

b) quantidade total de aspersores sobre toda a haste em função de n. (3,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 11 (1º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2011

1º semestre · 2º dia · Matemática: Progressão aritmética

O esquema a seguir representa um método de irrigação em que uma haste, dividida em n segmentos de um metro cada, gira em torno de um eixo perpendicular a uma região plana, borrifando água nas coroas circulares varridas pelos segmentos da haste, conforme a figura.

Para a irrigação, os aspersores (borrifadores de água) são distribuídos sobre a haste e cada um borrifa a mesma quantidade de água por minuto. O primeiro segmento da haste, entre 0 e 1 m, tem 3 aspersores e cada coroa circular deve receber água na mesma proporção, por \text{m}^2, que recebe o círculo central varrido pelo primeiro segmento. Para isso, basta controlar a quantidade de aspersores em cada segmento da haste. Com base nestas informações, calcule a

Esquema de irrigação em círculos concêntricos centrados no ponto 0. Uma haste horizontal parte da origem e é subdividida em marcações de 0 a 1, 2, 3, 4, reticências (...), e termina em n, definindo coroas circulares sombreadas alternadamente. Uma seta aponta para a linha indicando a "Haste".

a) quantidade de aspersores a serem colocados sobre o terceiro segmento da haste, ou seja, entre 2 m e 3 m do centro; (2,0 pontos)

b) quantidade total de aspersores sobre toda a haste em função de n. (3,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

a) A área do círculo central, em \text{m}^2, é \pi, a área da coroa circular varrida pelo segundo segmento da haste é 4\pi - \pi = 3\pi e a área da coroa sob o terceiro segmento é 9\pi - 4\pi = 5\pi.
Assim, sendo q_i a quantidade de aspersores a serem colocados no i-ésimo segmento, com 1 \le i \le n, tem-se

\frac{3}{\pi} = \frac{q_2}{3\pi} = \frac{q_3}{5\pi} \Rightarrow q_3 = \frac{3 \times 5\pi}{\pi} = 15\text{ aspersores}

(2,0 pontos)

b) Sendo q_i a quantidade de aspersores no i-ésimo segmento, com 1 \le i \le n, e como esta quantidade é proporcional à área de cada coroa circular, tem-se

\frac{3}{\pi} = \frac{q_2}{3\pi} = \frac{q_3}{5\pi} = \dots = \frac{q_n}{\pi [n^2 - (n-1)^2]} = \frac{q_n}{(2n-1)\pi}

\Rightarrow q_1 = 3,\ q_2 = 9,\ q_3 = 15,\dots,\ q_n = 3(2n-1)

Logo, a quantidade total de aspersores na haste é:

q_1 + q_2 + q_3 + \dots + q_n = \frac{(q_1 + q_n)n}{2} = \frac{[3 + 3(2n-1)]n}{2} = 3n^2

(3,0 pontos)

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) O círculo central, varrido pelo primeiro segmento, tem área \pi\cdot 1^2=\pi\ \text{m}^2 e recebe a água de 3 aspersores. Cada aspersor borrifa a mesma quantidade por minuto, então a proporção é \dfrac{3}{\pi} aspersores por \text{m}^2.

O terceiro segmento (de 2 m a 3 m) varre uma coroa circular de área

\pi\cdot 3^2-\pi\cdot 2^2=5\pi\ \text{m}^2.

Para manter a mesma proporção, o número de aspersores x deve satisfazer

\frac{x}{5\pi}=\frac{3}{\pi}\Rightarrow x=15.

Resposta: 15 aspersores.

b) Vale o mesmo raciocínio para o k-ésimo segmento (entre k-1 e k metros). A área da coroa é

\pi k^2-\pi(k-1)^2=\pi(2k-1).

O número de aspersores nesse segmento é

a_k=3(2k-1),

com a_1=3 e a_3=15, o que confere com o item (a).

Os valores a_k formam uma progressão aritmética de primeiro termo 3 e razão 6. O total para n segmentos é

S_n=\frac{(a_1+a_n)\,n}{2}=\frac{\left[3+3(2n-1)\right]n}{2}=\frac{6n\cdot n}{2}=3n^2.

Outra forma de ver: a área total é \pi n^2, e com \dfrac{3}{\pi} aspersores por \text{m}^2 o total é \dfrac{3}{\pi}\cdot\pi n^2=3n^2.

Resposta: 3n^2 aspersores.

Assuntos: Progressão aritmética, Círculo: comprimento, arcos e áreas.

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Questão 11 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2011

Fonte: UFG 2ª etapa 2011 · 1º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗