Questão 10 (1º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2011

Question

Três números inteiros positivos constituem uma terna pitagórica se o quadrado do maior for igual à soma dos quadrados dos outros dois, ou seja, os três números são medidas dos lados de um triângulo retângulo. Diofanto de Alexandria (séc. III) desenvolveu um método para gerar ternas pitagóricas: para quaisquer dois números inteiros positivos m e n, com m > n, os inteiros m^2 - n^2, 2mn, e m^2 + n^2 formam uma terna pitagórica.

Qual é, em função de m e n, o raio da circunferência inscrita no triângulo retângulo obtido no método de Diofanto?

Triângulo retângulo com ângulo reto no vértice inferior esquerdo contendo uma circunferência inscrita tangente a todos os seus lados

(5,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 (1º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2011

1º semestre · 2º dia · Matemática: Teorema de Pitágoras e relações métricas

Três números inteiros positivos constituem uma terna pitagórica se o quadrado do maior for igual à soma dos quadrados dos outros dois, ou seja, os três números são medidas dos lados de um triângulo retângulo. Diofanto de Alexandria (séc. III) desenvolveu um método para gerar ternas pitagóricas: para quaisquer dois números inteiros positivos m e n, com m > n, os inteiros m^2 - n^2, 2mn, e m^2 + n^2 formam uma terna pitagórica.

Qual é, em função de m e n, o raio da circunferência inscrita no triângulo retângulo obtido no método de Diofanto?

Triângulo retângulo com ângulo reto no vértice inferior esquerdo contendo uma circunferência inscrita tangente a todos os seus lados

(5,0 pontos)

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

Dentre os três números da terna pitagórica obtida no método de Diofanto, o maior é m^2 + n^2, uma vez que é maior que m^2 - n^2, e m^2 + n^2 = (m - n)^2 + 2mn > 2mn. Portanto, m^2 + n^2 corresponde à hipotenusa do triângulo retângulo, enquanto os outros dois números são os catetos.

O círculo inscrito é tangente aos três lados do triângulo e toda reta tangente a um círculo é perpendicular ao raio do círculo no ponto de tangência. Além disso, quando duas retas, tangentes a um mesmo círculo, encontram-se em um ponto P, os pontos de tangência ficam equidistantes de P. Assim, as distâncias dos pontos de tangência aos vértices do triângulo podem ser obtidas como na figura abaixo.

[Figura: Triângulo retângulo com circunferência inscrita tangente aos três lados. No vértice do ângulo reto, os raios perpendiculares aos catetos formam um quadrado de lado r. O cateto vertical é dividido em segmentos de comprimento r e m^2 - n^2 - r; o cateto horizontal é dividido em segmentos de comprimento r e 2mn - r. Pela propriedade dos segmentos tangentes a partir de um mesmo ponto exterior, a hipotenusa de comprimento total m^2 + n^2 é decomposta na soma dos segmentos m^2 - n^2 - r e 2mn - r.]

Desse modo, na hipotenusa obtém-se m^2 + n^2 = m^2 - n^2 - r + 2mn - r, de onde segue que

r = n(m - n)

OU

Dentre os três números da terna pitagórica obtida no método de Diofanto, o maior é m^2 + n^2, uma vez que é maior que m^2 - n^2, e m^2 + n^2 = (m - n)^2 + 2mn > 2mn. Portanto, m^2 + n^2 corresponde à hipotenusa do triângulo retângulo, enquanto os outros dois números são os catetos.

[Figura: Triângulo retângulo com catetos medindo m^2 - n^2 e 2mn e hipotenusa medindo m^2 + n^2. O centro da circunferência inscrita (incentro) está ligado aos três vértices do triângulo e aos três pontos de tangência nos lados por segmentos perpendiculares aos lados, representando os raios que servem de altura para os três triângulos internos gerados.]

Ligando o centro do círculo inscrito aos vértices do triângulo,obtém-se três triângulos menores, com altura igual ao raio do círculo inscrito e bases m^2 + n^2, m^2 - n^2 e 2mn. Igualando a área do triângulo original à soma das áreas dos três triângulos menores, tem-se

\frac{2mn(m^2 - n^2)}{2} = \frac{r}{2}(m^2 + n^2 + m^2 - n^2 + 2mn)

de onde segue que

r = n(m - n)

(5,0 pontos)

Ver como a UFG publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Os catetos são a = m^2 - n^2 e b = 2mn, e a hipotenusa é c = m^2 + n^2. Verificação: (m^2-n^2)^2 + (2mn)^2 = m^4 + 2m^2n^2 + n^4 = (m^2+n^2)^2.

Em um triângulo retângulo, o raio r da circunferência inscrita vale r = \dfrac{a + b - c}{2}. Isso vem das tangentes: o centro da circunferência e os pontos de tangência nos catetos formam, com o vértice do ângulo reto, um quadrado de lado r. Então a = r + x e b = r + y, em que x e y são os segmentos tangentes a partir dos outros dois vértices. A hipotenusa é c = x + y. Logo a + b - c = 2r.

Substituindo:

a + b - c = (m^2 - n^2) + 2mn - (m^2 + n^2)
a + b - c = -2n^2 + 2mn = 2n(m - n)
r = \dfrac{2n(m-n)}{2} = n(m-n)

Conferência com m=2, n=1: o triângulo é 3, 4, 5, e r = \dfrac{3+4-5}{2} = 1 = 1\cdot(2-1). Confere.

r = n(m-n)

Assuntos: Teorema de Pitágoras e relações métricas, Circunferência: ângulos, cordas e tangência.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 10 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2011

Fonte: UFG 2ª etapa 2011 · 1º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗