Questão 12 (1º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2011

Question

Quando uma bola rola em uma mesa de bilhar, em linha reta, sem deslizar, com velocidade de translação v, sua energia cinética total E é a soma da energia cinética de translação E_C com a energia cinética de rotação E_R, ou seja,

E(v) = E_C(v) + E_R(v)

Para uma bola de bilhar com massa m, tem-se E_C(v) = \frac{mv^2}{2} e E_R(v) = \frac{mv^2}{5}.

Considere que, ao rolar no tecido da mesa, a bola perde 0,08 J de energia por metro percorrido e, por isso, sua velocidade diminui gradativamente.

A figura ao lado representa uma mesa de bilhar em um sistema de coordenadas cartesianas, tendo o metro como unidade de comprimento. A bola branca encontra-se no ponto B=\left(\frac{3}{10}, \frac{1}{10}\right), e a bola preta em P=\left(\frac{9}{10}, \frac{17}{10}\right). Todas as bolas estão inicialmente em repouso.

Para levar a bola preta à caçapa em C=\left(\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\right), a bola branca é lançada em direção a um ponto P', imagem de P refletido em relação ao eixo y. Após uma colisão perfeitamente elástica com a lateral da mesa em um ponto Q, do eixo y, a bola branca segue em direção a C e colide frontalmente com a bola preta, transferindo a ela \frac{2}{3} de sua energia. Nessas condições,

Mesa de bilhar retangular no primeiro quadrante do sistema de coordenadas cartesianas com eixos x e y. Estão representadas as bolas B (branca), P (preta), bolas cinzas, a caçapa C no canto superior direito e a reflexão da trajetória da bola no ponto Q sobre o eixo y, conectando B a Q e Q a P por linhas tracejadas.

a) quais as coordenadas do ponto Q? (2,0 pontos)

b) considerando que a massa de cada bola é 0,1 kg, qual deve ser, no mínimo, a velocidade inicial da bola branca, em m/s, para que a bola preta alcance o ponto C? (3,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 (1º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2011

1º semestre · 2º dia · Matemática: Ponto e reta no plano cartesiano

Quando uma bola rola em uma mesa de bilhar, em linha reta, sem deslizar, com velocidade de translação v, sua energia cinética total E é a soma da energia cinética de translação E_C com a energia cinética de rotação E_R, ou seja,

E(v) = E_C(v) + E_R(v)

Para uma bola de bilhar com massa m, tem-se E_C(v) = \frac{mv^2}{2} e E_R(v) = \frac{mv^2}{5}.

Considere que, ao rolar no tecido da mesa, a bola perde 0,08 J de energia por metro percorrido e, por isso, sua velocidade diminui gradativamente.

A figura ao lado representa uma mesa de bilhar em um sistema de coordenadas cartesianas, tendo o metro como unidade de comprimento. A bola branca encontra-se no ponto B=\left(\frac{3}{10}, \frac{1}{10}\right), e a bola preta em P=\left(\frac{9}{10}, \frac{17}{10}\right). Todas as bolas estão inicialmente em repouso.

Para levar a bola preta à caçapa em C=\left(\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\right), a bola branca é lançada em direção a um ponto P', imagem de P refletido em relação ao eixo y. Após uma colisão perfeitamente elástica com a lateral da mesa em um ponto Q, do eixo y, a bola branca segue em direção a C e colide frontalmente com a bola preta, transferindo a ela \frac{2}{3} de sua energia. Nessas condições,

Mesa de bilhar retangular no primeiro quadrante do sistema de coordenadas cartesianas com eixos x e y. Estão representadas as bolas B (branca), P (preta), bolas cinzas, a caçapa C no canto superior direito e a reflexão da trajetória da bola no ponto Q sobre o eixo y, conectando B a Q e Q a P por linhas tracejadas.

a) quais as coordenadas do ponto Q? (2,0 pontos)

b) considerando que a massa de cada bola é 0,1 kg, qual deve ser, no mínimo, a velocidade inicial da bola branca, em m/s, para que a bola preta alcance o ponto C? (3,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

a) A trajetória inicial da bola branca está sobre a reta BP', com P' = \left(\frac{-9}{10}, \frac{17}{10}\right).

Assim, considerando Q = (x_Q, y_Q), tem-se x_Q = 0 e

\frac{\frac{17}{10} - y_Q}{\frac{-9}{10} - x_Q} = \frac{\frac{17}{10} - \frac{1}{10}}{\frac{-9}{10} - \frac{3}{10}} \Rightarrow \frac{17 - 10 y_Q}{-9} = \frac{16}{-12} \Rightarrow y_Q = \frac{1}{2}

Logo, Q = \left(0, \frac{1}{2}\right).

(2,0 pontos)

b) Para chegar em C, a bola preta precisa rolar a distância PC = 1\text{ m}. Para isso ela deve partir de P com, no mínimo, 0{,}08\text{ J} de energia, tendo recebido \frac{2}{3} da energia da bola branca na colisão. Dessa forma, a bola branca precisa chegar ao ponto P com \frac{3}{2} \times 0{,}08 = 0{,}12\text{ J}.

Para ir de B a P, a bola branca percorre BQ + QP = 0{,}5 + 1{,}5 = 2\text{ m}, perdendo 0{,}16\text{ J} de energia apenas na rolagem, uma vez que a colisão com a lateral da mesa é perfeitamente elástica.

Portanto, a bola branca precisa partir de B com uma energia total de 0{,}12 + 0{,}16 = 0{,}28\text{ J}. Assim,

E(v) = \frac{7mv^2}{10} = 0{,}28 \Rightarrow v^2 = 4 \Rightarrow v = 2\text{ m/s}

ou seja, a bola branca precisa partir de B com uma velocidade mínima de 2\text{ m/s}.

(3,0 pontos)

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Resolução comentada

a) Pela reflexão, P'=\left(-\frac{9}{10},\frac{17}{10}\right). A bola branca vai de B até P' em linha reta, e Q é o ponto onde essa reta cruza o eixo y (x=0).

O coeficiente angular da reta BP' é:

m=\frac{\frac{17}{10}-\frac{1}{10}}{-\frac{9}{10}-\frac{3}{10}}=\frac{16/10}{-12/10}=-\frac{4}{3}

Em x=0:

y=\frac{1}{10}-\frac{4}{3}\left(0-\frac{3}{10}\right)=\frac{1}{10}+\frac{4}{10}=\frac{1}{2}

Logo Q=\left(0,\frac{1}{2}\right).

Resposta: Q=\left(0,\ \frac{1}{2}\right).

b) Primeiro, as distâncias percorridas:

BQ=\sqrt{(0{,}3)^2+(0{,}4)^2}=0{,}5\ \text{m}.
QP=\sqrt{(0{,}9)^2+(1{,}2)^2}=1{,}5\ \text{m}.
PC=\sqrt{(0{,}6)^2+(0{,}8)^2}=1{,}0\ \text{m}.

Como Q, P e C estão alinhados (a direção (3,4) se repete), a bola branca chega a P vindo de Q e a colisão é frontal.

Partindo de uma energia inicial E_0, a bola branca percorre 0{,}5+1{,}5=2{,}0\ \text{m} até a colisão. Ela perde 0{,}08\cdot 2=0{,}16\ \text{J} e chega a P com E_1=E_0-0{,}16.

A bola preta recebe \frac{2}{3}E_1 e percorre PC=1\ \text{m}, perdendo 0{,}08\ \text{J}. Para alcançar C com a menor velocidade possível, ela deve chegar lá com energia nula:

\frac{2}{3}E_1=0{,}08\Rightarrow E_1=0{,}12\ \text{J}

Então E_0=0{,}12+0{,}16=0{,}28\ \text{J}.

A energia total de rolamento é:

E(v)=\frac{mv^2}{2}+\frac{mv^2}{5}=\frac{7}{10}mv^2=0{,}07\,v^2

Portanto 0{,}07\,v^2=0{,}28, o que dá v^2=4 e v=2\ \text{m/s}.

Resposta: v=2\ \text{m/s}.

Assuntos: Ponto e reta no plano cartesiano, Transformações geométricas e localização.

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Questão 12 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2011

Fonte: UFG 2ª etapa 2011 · 1º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗