Questão 10 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2011

Question

Leia os textos a seguir.

Ondas sonoras estacionárias podem ser produzidas pela vibração do ar em um tubo cilíndrico. Para cada tubo, as ondas estacionárias ocorrem somente em algumas frequências naturais, sendo a mais baixa chamada de frequência fundamental, ou primeiro harmônico, e as demais de harmônicos de ordem superior.

MATIAS, R.; FRATTEZI, A. Física geral para o ensino médio. São Paulo: Harbra, 2008. p. 525; 527. [Adaptado].

O intervalo percebido entre duas notas musicais depende da razão entre suas frequências. Quando a frequência da nota mais aguda é o dobro da mais grave, o intervalo entre elas é chamado de uma oitava. Uma escala musical muito utilizada atualmente é a temperada, na qual as frequências das notas musicais são distribuídas de modo que notas consecutivas tenham, entre si, sempre o mesmo intervalo, denominado semitom, e tal que uma oitava equivalha a 12 semitons. Assim, se uma nota tem frequência f, a frequência da próxima nota, um semitom acima, é f \sqrt[12]{2} e uma nota 15 semitons acima, por exemplo, tem frequência f\left(\sqrt[12]{2}\right)^{15} = 2f\sqrt[4]{2}.

AS ESCALAS MUSICAIS. Disponível em: <http://www.das.inpe.br/~alex/FisicadaMusica/fismus_freqnat.htm>. Acesso em: 6 maio 2011. [Adaptado].

Considerando o exposto e que 440\ \text{Hz} é a frequência de uma nota da escala temperada, responda:

Em um tubo cilíndrico aberto nas duas extremidades, cuja frequência fundamental é 440\ \text{Hz}, a nota da escala temperada que mais se aproxima do terceiro harmônico fica quantos semitons acima da fundamental?

Dado: \log_2 3 = 1{,}58

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2011

2º semestre · 2º dia · Matemática: Progressão geométrica

Leia os textos a seguir.

Ondas sonoras estacionárias podem ser produzidas pela vibração do ar em um tubo cilíndrico. Para cada tubo, as ondas estacionárias ocorrem somente em algumas frequências naturais, sendo a mais baixa chamada de frequência fundamental, ou primeiro harmônico, e as demais de harmônicos de ordem superior.

MATIAS, R.; FRATTEZI, A. Física geral para o ensino médio. São Paulo: Harbra, 2008. p. 525; 527. [Adaptado].

O intervalo percebido entre duas notas musicais depende da razão entre suas frequências. Quando a frequência da nota mais aguda é o dobro da mais grave, o intervalo entre elas é chamado de uma oitava. Uma escala musical muito utilizada atualmente é a temperada, na qual as frequências das notas musicais são distribuídas de modo que notas consecutivas tenham, entre si, sempre o mesmo intervalo, denominado semitom, e tal que uma oitava equivalha a 12 semitons. Assim, se uma nota tem frequência f, a frequência da próxima nota, um semitom acima, é f \sqrt[12]{2} e uma nota 15 semitons acima, por exemplo, tem frequência f\left(\sqrt[12]{2}\right)^{15} = 2f\sqrt[4]{2}.

AS ESCALAS MUSICAIS. Disponível em: <http://www.das.inpe.br/~alex/FisicadaMusica/fismus_freqnat.htm>. Acesso em: 6 maio 2011. [Adaptado].

Considerando o exposto e que 440\ \text{Hz} é a frequência de uma nota da escala temperada, responda:

Em um tubo cilíndrico aberto nas duas extremidades, cuja frequência fundamental é 440\ \text{Hz}, a nota da escala temperada que mais se aproxima do terceiro harmônico fica quantos semitons acima da fundamental?

Dado: \log_2 3 = 1{,}58

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

Considerando que a frequência da nota fundamental do tubo é f_0 = 440\text{ Hz} , para qualquer número natural n, a nota da escala temperada que fica n semitons acima da fundamental tem uma frequência, em hertz, de

f_n = 440\left(\sqrt[12]{2}\right)^n

Como o tubo é aberto nas duas extremidades, os harmônicos serão os múltiplos inteiros da frequência fundamental do tubo. Assim, a frequência do terceiro harmônico é o triplo da fundamental, no caso,

3\times 440 = 1320\text{ Hz}

Desse modo, comparando-se as expressões acima, procura-se a potência de \sqrt[12]{2}, com expoente inteiro, que seja a mais próxima de 3:

\left(\sqrt[12]{2}\right)^x = 3 \Rightarrow 2^{\frac{x}{12}} = 3 \Rightarrow \frac{x}{12} = \log_2 3 = 1{,}58 \Rightarrow x = 18{,}96

Assim, a nota da escala temperada que mais se aproxima do terceiro harmônico fica 19 semitons acima da fundamental.

(5,0 pontos)

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Resolução comentada

a) Em um tubo aberto nas duas extremidades, as frequências dos harmônicos são múltiplos inteiros da fundamental: f_n = n f_1. Logo, o terceiro harmônico tem frequência

f_3 = 3\cdot 440 = 1320\ \text{Hz}.

Na escala temperada, uma nota n semitons acima da fundamental f tem frequência f\left(\sqrt[12]{2}\right)^n = f\cdot 2^{n/12}. Queremos a nota mais próxima de 3f, então:

2^{n/12} = 3
Aplicando \log_2: \dfrac{n}{12} = \log_2 3 = 1{,}58
n = 12\cdot 1{,}58 = 18{,}96

Como n precisa ser inteiro (notas da escala estão a números inteiros de semitons), a nota mais próxima é a de n = 19 semitons. Conferindo: 18{,}96 está a 0{,}04 de 19, bem mais perto de 19 do que de 18.

A nota fica 19 semitons acima da fundamental.

Assuntos: Progressão geométrica, Logaritmos e função logarítmica.

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Questão 10 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2011

Fonte: UFG 2ª etapa 2011 · 2º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗