Questão 11 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2011

Question

A distorção do som da guitarra elétrica pode ser obtida por meio de dispositivos à válvula, como o pedal valvulado, gerando o som distorcido pelo processo de waveshaping, que consiste em transformar um sinal sonoro por meio de uma função não linear. Existem várias funções que podem ser utilizadas nesse processo, dentre elas estão os polinômios de Chebyshev de grau n, para n=0,1,2,\text{...}, definidos pela relação:

T_n(x)=\cos[n.\arccos(x)], \text{ com } x \in [-1,1].

Considerando a relação que define os polinômios de Chebyshev,

a) escreva a expressão que representa o polinômio T_0(x) e esboce o seu gráfico. (2,5 pontos)

b) calcule os valores de x para os quais T_2(x)=0. (2,5 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 11 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2011

2º semestre · 2º dia · Matemática: Identidades, adição de arcos e arco duplo

A distorção do som da guitarra elétrica pode ser obtida por meio de dispositivos à válvula, como o pedal valvulado, gerando o som distorcido pelo processo de waveshaping, que consiste em transformar um sinal sonoro por meio de uma função não linear. Existem várias funções que podem ser utilizadas nesse processo, dentre elas estão os polinômios de Chebyshev de grau n, para n=0,1,2,\text{...}, definidos pela relação:

T_n(x)=\cos[n.\arccos(x)], \text{ com } x \in [-1,1].

Considerando a relação que define os polinômios de Chebyshev,

a) escreva a expressão que representa o polinômio T_0(x) e esboce o seu gráfico. (2,5 pontos)

b) calcule os valores de x para os quais T_2(x)=0. (2,5 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

a) A expressão do polinômio de Chebyshev, para n=0, é dada por:

T_0(x) = \cos [0.\arccos(x)] = \cos 0 = 1

O gráfico dessa expressão, com x \in [-1,1], é

[Figura: Gráfico cartesiano da função T_0(x) em relação a x. O gráfico consiste em um segmento de reta horizontal na altura 1, definido no intervalo x \in [-1, 1], com linhas verticais tracejadas descendo dos pontos extremos (-1, 1) e (1, 1) até os respectivos pontos no eixo horizontal.]

(2,5 pontos)

b) Considerando-se k \in Z, para T_2(x) = 0, tem-se que

\cos [2 \arccos(x)] = 0 \Rightarrow 2 \arccos(x) = \frac{\pi}{2} + k\pi \Rightarrow \arccos(x) = \frac{\pi}{4} + k \frac{\pi}{2} \Rightarrow

x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}

OU

Da definição,

T_2(x) = \cos [2 \arccos(x)]

Considerando-se \theta = \arccos(x), tem-se

T_2(x) = \cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sen^2 \theta = 2 \cos^2 \theta - 1 = 2 x^2 - 1

Assim, T_2(x) = 0 \Rightarrow 2 x^2 - 1 = 0, de onde obtém-se

x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}

(2,5 pontos)

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Resolução comentada

a) Com n=0 temos T_0(x)=\cos[0\cdot\arccos(x)]=\cos(0)=1, para todo x\in[-1,1].

Logo, T_0(x)=1 (polinômio constante).

O gráfico é um segmento de reta horizontal na altura y=1, com x variando de -1 a 1. Os pontos (-1,1) e (1,1) são as extremidades, que pertencem ao gráfico, pois o domínio é fechado.

T_0(x)=1, com gráfico sendo o segmento horizontal de (-1,1) a (1,1).

b) Seja \theta=\arccos(x), com \theta\in[0,\pi] e x=\cos\theta. Então T_2(x)=\cos(2\theta).

Pela identidade do arco duplo:

\cos(2\theta)=2\cos^2\theta-1=2x^2-1.

Assim, T_2(x)=2x^2-1.

Igualando a zero:

2x^2-1=0 \Rightarrow x^2=\frac{1}{2} \Rightarrow x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}.

Ambos pertencem a [-1,1].

Conferindo pela definição: \cos(2\theta)=0 com 2\theta\in[0,2\pi] dá 2\theta=\pi/2 ou 3\pi/2, ou seja, \theta=\pi/4 ou 3\pi/4. Então x=\cos(\pi/4)=\frac{\sqrt2}{2} ou x=\cos(3\pi/4)=-\frac{\sqrt2}{2}, o que confirma o resultado.

x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} ou x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.

Assunto: Identidades, adição de arcos e arco duplo.

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Questão 11 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2011

Fonte: UFG 2ª etapa 2011 · 2º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗