PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 8 (1º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2010
Dois amigos decidem fazer uma caminhada em uma pista circular, partindo juntos de um mesmo lugar, percorrendo-a em sentido contrário, caminhando com velocidades constantes, sendo que a velocidade de um deles é igual a 80\% da velocidade do outro. Durante a caminhada, eles se encontraram diversas vezes. Determine qual é o menor número de voltas que cada um deles deve dar para que eles se encontrem novamente no ponto de partida. (5,0 pontos)
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Resolução comentada
Resolução comentada
a) Chame de v a velocidade do mais rápido e de L o comprimento da pista. A velocidade do outro é 0{,}8v=\frac{4}{5}v.
Para os dois se encontrarem no ponto de partida, é preciso que, no mesmo instante t, cada um tenha completado um número inteiro de voltas. O sentido contrário não altera essa condição: ela só exige que os dois estejam no ponto de partida ao mesmo tempo.
Se o mais rápido deu n voltas, então vt=nL, ou seja, t=\dfrac{nL}{v}.
Nesse mesmo tempo, o mais lento percorre
que corresponde a 0{,}8n=\dfrac{4n}{5} voltas.
Precisamos que n e \dfrac{4n}{5} sejam ambos inteiros. Como 4 e 5 são primos entre si, n deve ser múltiplo de 5. O menor valor é n=5, e então o outro dá \dfrac{4\cdot 5}{5}=4 voltas.
Esse é o primeiro instante em que os dois estão juntos no ponto de partida, t=\dfrac{5L}{v}. Antes dele, os encontros ocorrem em outros pontos da pista.
O mais rápido deve dar 5 voltas e o mais lento, 4 voltas.
Assuntos: Divisibilidade, MMC e MDC, Razão e proporção.
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Fonte: UFG 2ª etapa 2010 · 1º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗