Questão 7 (1º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2010

Question

A grama-esmeralda é uma das mais difundidas no Brasil, usada para cobrir terrenos, jardins, campos de futebol etc. Em certa loja de jardinagem, essa grama é vendida em tapetes (ou placas) naturais retangulares, cada um com 0,40 m de largura por 1,25 m de comprimento, ao preço de R$ 1,50. Para o plantio, recomenda-se que cada tapete dessa grama seja colocado no terreno mantendo-se uma distância de 2 cm entre um tapete de grama e outro, em toda a volta do tapete. E, em relação às margens do terreno, recomenda-se que haja uma distância de 1 cm entre a placa e a margem, conforme a figura a seguir.

Esquema ilustrando o plantio de tapetes retangulares de grama com espaçamento de 2 cm entre placas adjacentes e de 1 cm em relação às margens do terreno. As dimensões da placa são indicadas como 0,40 m de largura por 1,25 m de comprimento. Legenda: Plantio dos tapetes segundo as recomendações

O dono de uma chácara procurou a referida loja para cobrir com grama-esmeralda seu terreno retangular, com dimensões de 52,5 m por 25,4 m. Sabendo que cada tapete será plantado inteiro, ou seja, sem ser cortado e seguindo as recomendações acima, qual será o custo total com os tapetes de grama-esmeralda?

(5,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 (1º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2010

1º semestre · 2º dia · Matemática: Unidades de medida e conversões

A grama-esmeralda é uma das mais difundidas no Brasil, usada para cobrir terrenos, jardins, campos de futebol etc. Em certa loja de jardinagem, essa grama é vendida em tapetes (ou placas) naturais retangulares, cada um com 0,40 m de largura por 1,25 m de comprimento, ao preço de R$ 1,50. Para o plantio, recomenda-se que cada tapete dessa grama seja colocado no terreno mantendo-se uma distância de 2 cm entre um tapete de grama e outro, em toda a volta do tapete. E, em relação às margens do terreno, recomenda-se que haja uma distância de 1 cm entre a placa e a margem, conforme a figura a seguir.

Esquema ilustrando o plantio de tapetes retangulares de grama com espaçamento de 2 cm entre placas adjacentes e de 1 cm em relação às margens do terreno. As dimensões da placa são indicadas como 0,40 m de largura por 1,25 m de comprimento. Legenda: Plantio dos tapetes segundo as recomendações

O dono de uma chácara procurou a referida loja para cobrir com grama-esmeralda seu terreno retangular, com dimensões de 52,5 m por 25,4 m. Sabendo que cada tapete será plantado inteiro, ou seja, sem ser cortado e seguindo as recomendações acima, qual será o custo total com os tapetes de grama-esmeralda?

(5,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

Segundo as recomendações de plantio, deve-se manter 2 cm entre um tapete e outro e 1 cm entre o tapete e a margem do terreno. Desse modo, cada tapete cobrirá uma área, em m^2, de:

1{,}27 \times 0{,}42

Seja q a quantidade de tapetes de gramas necessários para o plantio. Tem-se que:

q = \frac{52{,}5 \times 25{,}4}{1{,}27 \times 0{,}42} = \frac{1.333{,}5}{0{,}5334} = 2500\text{ tapetes.}

Como cada tapete custa R$ 1,50, o custo total com tapetes de grama é:

2500 \times 1{,}50 = R\$3.750{,}00

(5,0 pontos)

Critérios de correção

A resposta atendeu plenamente ao que foi solicitado quando o candidato interpretou corretamente o problema, calculou corretamente a área ocupada por um tapete, calculou corretamente a quantidade de tapetes a ser plantada segundo as recomendações de plantio e obteve corretamente o custo total com os tapetes. Cada etapa do desenvolvimento matemático foi pontuada independentemente. Respostas parciais foram consideradas, com pontuação proporcional ao seu desenvolvimento. Respostas equivalentes foram consideradas.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Em cada direção do terreno, com n tapetes de medida s (em cm), há n tapetes, n-1 vãos de 2 cm entre eles e 1 cm de folga em cada margem:

ns+2(n-1)+1+1=n(s+2)

Ou seja, cada tapete ocupa na prática uma "célula" com 2 cm a mais em cada medida: 42\ \text{cm}\times127\ \text{cm}. O terreno mede 5250\ \text{cm}\times2540\ \text{cm}.

Como os tapetes não podem ser cortados, o ideal é testar as duas orientações.

Lado de 0,40 m ao longo dos 52,5 m e lado de 1,25 m ao longo dos 25,4 m:

\frac{5250}{42}=125\qquad\frac{2540}{127}=20

Os dois quocientes são exatos, então cabem 125\times20=2500 tapetes, sem sobra.
Lado de 1,25 m ao longo dos 52,5 m e lado de 0,40 m ao longo dos 25,4 m:

\frac{5250}{127}\approx41{,}3\to41\qquad\frac{2540}{42}\approx60{,}5\to60

Cabem 41\times60=2460 tapetes, que é menos que na primeira orientação.

A primeira orientação aproveita todo o terreno. Ela é a melhor possível, pois a área do terreno dividida pela área da célula também dá \dfrac{5250\cdot2540}{42\cdot127}=2500.

O custo é 2500\times1{,}50=3750.

Custo total: R$ 3.750,00 (2500 tapetes).

Assuntos: Unidades de medida e conversões, Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 7 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2010

Fonte: UFG 2ª etapa 2010 · 1º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗