Questão 9 (1º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2010

Question

Uma empresa de vigilância irá instalar um sistema de segurança em um condomínio fechado, representado pelo polígono da figura abaixo.

Polígono de vértices P, Q, R, S e T com ponto interno A

A empresa pretende colocar uma torre de comunicação, localizada no ponto A, indicado na figura, que seja equidistante dos vértices do polígono, indicados por P, Q, R, S e T, onde serão instalados os equipamentos de segurança. Sabe-se que o lado RQ desse polígono mede 3.000 m e as medidas dos outros lados são todas iguais à distância do ponto A aos vértices do polígono. Calcule a distância do ponto A, onde será instalada a torre, aos vértices do polígono. (5,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 (1º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2010

1º semestre · 2º dia · Matemática: Circunferência: ângulos, cordas e tangência

Uma empresa de vigilância irá instalar um sistema de segurança em um condomínio fechado, representado pelo polígono da figura abaixo.

Polígono de vértices P, Q, R, S e T com ponto interno A

A empresa pretende colocar uma torre de comunicação, localizada no ponto A, indicado na figura, que seja equidistante dos vértices do polígono, indicados por P, Q, R, S e T, onde serão instalados os equipamentos de segurança. Sabe-se que o lado RQ desse polígono mede 3.000 m e as medidas dos outros lados são todas iguais à distância do ponto A aos vértices do polígono. Calcule a distância do ponto A, onde será instalada a torre, aos vértices do polígono. (5,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

Considerando o polígono que representa a região do condomínio,

[Figura: Polígono com vértices P, Q, R, S, T e ponto central A. Linhas tracejadas ligam o ponto central A a cada um dos vértices e ao ponto médio M do segmento QR. O segmento AR está rotulado como x e o ângulo entre AR e MR está indicado por \theta.]

tem-se que os triângulos ARS, AST, ATP e APQ são equiláteros, cujos ângulos internos são iguais a 60^\circ.

Assim, o triângulo AQR é isósceles, com ângulo \widehat{QAR}=120^\circ.

Logo, tem-se que \theta=30^\circ.

Considerando x=\overline{AR} a distância do ponto A aos vértices do polígono, obtém-se que

\cos\theta=\frac{\overline{MR}}{x}\Leftrightarrow\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1.500}{x}\Leftrightarrow x\sqrt{3}=3.000\Leftrightarrow x=\frac{3.000}{\sqrt{3}}=1.000\sqrt{3}\approx 1.732\text{ m}.

(5,0 pontos)

Critérios de correção

A resposta atendeu plenamente ao que foi solicitado quando o candidato interpretou corretamente o problema, utilizou corretamente relações trigonométricas e/ou relações métricas no triângulo retângulo para calcular corretamente a distância solicitada pelo enunciado. Cada etapa do desenvolvimento matemático foi pontuada independentemente. Respostas parciais foram consideradas, com pontuação proporcional ao seu desenvolvimento. Respostas equivalentes foram consideradas.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Como A é equidistante dos cinco vértices, eles estão todos sobre uma circunferência de centro A e raio r (a distância procurada).

Os lados PQ, TP, ST e SR medem r. Assim, os triângulos APQ, ATP, AST e ASR têm os três lados iguais a r, ou seja, são equiláteros. Cada um deles tem ângulo de 60^\circ em A.

Os quatro ângulos somam 4\cdot 60^\circ = 240^\circ. Como a volta completa em torno de A tem 360^\circ, o ângulo restante é

\hat{RAQ} = 360^\circ - 240^\circ = 120^\circ.

No triângulo isósceles ARQ, com AR = AQ = r, RQ = 3000 m e ângulo de 120^\circ entre os lados iguais, a lei dos cossenos dá:

3000^2 = r^2 + r^2 - 2r^2\cos 120^\circ = 2r^2 + r^2 = 3r^2.

Logo

r^2 = \frac{9\,000\,000}{3} = 3\,000\,000 \Rightarrow r = 1000\sqrt{3}\ \text{m}.

A distância é aproximadamente 1\,732 m.

A distância de A aos vértices é 1000\sqrt{3}\ \text{m} \approx 1\,732\ \text{m}.

Assuntos: Circunferência: ângulos, cordas e tangência, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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Questão 9 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2010

Fonte: UFG 2ª etapa 2010 · 1º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗