Questão 8 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2010

Question

A fórmula a seguir é frequentemente utilizada na modelagem do crescimento de animais (Fórmula de Gompertz).

P(t) = A \cdot 10^{(-B \cdot 10^{-K \cdot t})}

Nessa fórmula, P(t) será o peso do animal (massa corporal) em kg quando ele estiver com idade t, sendo a idade dada em meses. Os valores das constantes A, B e k dependem da espécie e do animal.

Para aplicar esse modelo ao crescimento de certa raça de bovinos, usa-se B=1{,}1 e k=0{,}04. Considerando que o peso ao nascer, P(0), de um determinado animal é de 40 kg, qual será, aproximadamente, a idade, em meses, que esse animal terá quando atingir 250 kg de peso?

Use: \log 2=0{,}30, \log(3)=0{,}48 e \log(11)=1{,}04

(5,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 8 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2010

2º semestre · 2º dia · Matemática: Logaritmos e função logarítmica

A fórmula a seguir é frequentemente utilizada na modelagem do crescimento de animais (Fórmula de Gompertz).

P(t) = A \cdot 10^{(-B \cdot 10^{-K \cdot t})}

Nessa fórmula, P(t) será o peso do animal (massa corporal) em kg quando ele estiver com idade t, sendo a idade dada em meses. Os valores das constantes A, B e k dependem da espécie e do animal.

Para aplicar esse modelo ao crescimento de certa raça de bovinos, usa-se B=1{,}1 e k=0{,}04. Considerando que o peso ao nascer, P(0), de um determinado animal é de 40 kg, qual será, aproximadamente, a idade, em meses, que esse animal terá quando atingir 250 kg de peso?

Use: \log 2=0{,}30, \log(3)=0{,}48 e \log(11)=1{,}04

(5,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

Considerando B = 1{,}1, k = 0{,}04 e que o peso do animal, ao nascer, é de 40 kg, tem-se:

P(0) = A \times 10^{(-1{,}1 \times 10^{-0{,}04 \times 0})} = 40 \Rightarrow A = \frac{40}{10^{-1{,}1}} = 40 \times 10^{1{,}1}

Assim, o tempo aproximado para o animal atingir 250 kg é dado por:

P(t) = 40 \times 10^{1{,}1} \times 10^{(-1{,}1 \times 10^{-0{,}04 \times t})} = 250 \Rightarrow 10^{1{,}1 \times (1 - 10^{-0{,}04 \times t})} = \frac{25}{4} \Rightarrow

\Rightarrow 1{,}1 \times (1 - 10^{-0{,}04 \times t}) = \log \frac{25}{4}

Calculando o \log \frac{25}{4}, tem-se:

\log \frac{25}{4} = \log 5^2 - \log 2^2 = 2\log \frac{10}{2} - 2\log 2 = 2(1 - \log 2) - 2\log 2 = 2 - 4\log 2 = 2 - 4 \times 0{,}3 = 0{,}8

Substituindo na equação anterior, tem-se:

1{,}1 \times (1 - 10^{-0{,}04 \times t}) = 0{,}8 \Rightarrow 1 - 10^{-0{,}04 \times t} = \frac{0{,}8}{1{,}1} \Rightarrow 10^{-0{,}04 \times t} = \frac{3}{11} \Rightarrow

\Rightarrow -0{,}04 \times t = \log 3 - \log 11 = 0{,}48 - 1{,}04 = -0{,}56 \Rightarrow t = \frac{-0{,}56}{-0{,}04} \Rightarrow t = 14

Desta forma, o animal terá aproximadamente 14 meses de idade quando atingir 250 kg de peso.

(5,0 pontos)

Critério de correção

A resposta atendeu plenamente ao que foi solicitado quando o candidato interpretou corretamente o problema, utilizou corretamente a função P(t) para calcular o valor de A e utilizou corretamente as propriedades de logarítmos para calcular o tempo solicitado. Cada etapa do desenvolvimento matemático foi pontuada independentemente. Respostas parciais foram consideradas, com pontuação proporcional ao seu desenvolvimento. Respostas equivalentes foram consideradas.

Ver como a UFG publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Primeiro achamos a constante A com o peso ao nascer. Em t=0, 10^{-k\cdot 0}=1, então:

P(0)=A\cdot 10^{-B}=A\cdot 10^{-1{,}1}=40 \Rightarrow A=40\cdot 10^{1{,}1}

Agora impomos P(t)=250:

40\cdot 10^{1{,}1}\cdot 10^{-1{,}1\cdot 10^{-0{,}04t}}=250

Passando o 40 para o outro lado e juntando as potências de base 10:

10^{1{,}1\,(1-10^{-0{,}04t})}=\frac{250}{40}=6{,}25

Aplicando \log nos dois lados. Como \log 5=1-\log 2=0{,}70, temos \log 6{,}25=\log\frac{25}{4}=2(0{,}70)-2(0{,}30)=0{,}80. Logo:

1{,}1\,(1-10^{-0{,}04t})=0{,}8 \Rightarrow 1-10^{-0{,}04t}=\frac{8}{11}\Rightarrow 10^{-0{,}04t}=\frac{3}{11}

Aplicando \log de novo:

-0{,}04\,t=\log 3-\log 11=0{,}48-1{,}04=-0{,}56

t=\frac{0{,}56}{0{,}04}=14

O animal atinge 250 kg com cerca de 14 meses.

Assuntos: Logaritmos e função logarítmica, Função exponencial.

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Questão 8 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2010

Fonte: UFG 2ª etapa 2010 · 2º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗