Questão 9 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2010

Question

Preparando-se para as vendas de Natal, uma loja adquiriu 120.000 eletrodomésticos para serem todos vendidos em 20 dias, no período que antecede o festejo. Para isso, o gerente da loja estabeleceu a meta de aumentar as vendas, dia após dia, de modo que as quantidades vendidas ao final de cada um dos dias, do 1^o ao 20^o dia estejam em progressão aritmética. Ao final do décimo dia de venda, o gerente percebeu que estava atingindo a meta estabelecida, pois 1/3 do total de eletrodomésticos adquiridos já tinham sido vendidos.

Com base nestas informações, calcule a quantidade de eletrodomésticos que foram vendidos ao final do primeiro dia de venda. (5,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2010

2º semestre · 2º dia · Matemática: Progressão aritmética

Preparando-se para as vendas de Natal, uma loja adquiriu 120.000 eletrodomésticos para serem todos vendidos em 20 dias, no período que antecede o festejo. Para isso, o gerente da loja estabeleceu a meta de aumentar as vendas, dia após dia, de modo que as quantidades vendidas ao final de cada um dos dias, do 1^o ao 20^o dia estejam em progressão aritmética. Ao final do décimo dia de venda, o gerente percebeu que estava atingindo a meta estabelecida, pois 1/3 do total de eletrodomésticos adquiridos já tinham sido vendidos.

Com base nestas informações, calcule a quantidade de eletrodomésticos que foram vendidos ao final do primeiro dia de venda. (5,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

Se a progressão aritmética (a_1, a_2, a_3, \text{...}, a_{20}), de razão r, onde a_n representa a quantidade vendida ao final do n-ésimo dia, tem-se:

120.000 = \frac{(a_1 + a_{20}) \times 20}{2} = (a_1 + a_1 + 19r) \times 10 \Rightarrow 12.000 = 2a_1 + 19r

Como, ao final do décimo dia, a loja já havia vendido 40.000 unidades, tem-se:

40.000 = \frac{(a_1 + a_{10}) \times 10}{2} = (a_1 + a_1 + 9r) \times 5 e 8.000 = 2a_1 + 9r

Resolvendo o sistema formado pelas duas equações anteriores, obtém-se:

r = 400

Logo, a quantidade vendida ao final do primeiro dia foi de:

a_1 = \frac{8.000 - 9r}{2} = \frac{8.000 - 3.600}{2} = 2.200 \text{ unidades}

(5,0 pontos)

Critério de correção

A resposta atendeu plenamente ao que foi solicitado quando o candidato interpretou corretamente o problema, utilizou o conceito de Progressão Aritmética para escrever corretamente um sistema de equações envolvendo o primeiro termo e a razão e resolveu corretamente esse sistema para calcular o valor do primeiro termo. Cada etapa do desenvolvimento matemático foi pontuada independentemente. Respostas parciais foram consideradas, com pontuação proporcional ao seu desenvolvimento. Respostas equivalentes foram consideradas.

Ver como a UFG publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Aqui, "as quantidades vendidas em cada dia estão em progressão aritmética" significa que as vendas diárias formam uma PA (a_1, a_2, \dots, a_{20}) de razão r. O que queremos é a_1.

O total de eletrodomésticos é 120.000. Ao final do 10º dia já tinha sido vendido \frac{1}{3} desse total, ou seja, 40.000.

Usando a soma dos termos de uma PA, S_n = \frac{(2a_1 + (n-1)r)\,n}{2}:

Para 20 dias: S_{20} = 20a_1 + 190r = 120\,000.
Para 10 dias: S_{10} = 10a_1 + 45r = 40\,000.

Multiplicando a segunda equação por 2, temos 20a_1 + 90r = 80\,000.

Subtraindo essa equação da primeira:

100r = 40\,000 \Rightarrow r = 400.

Substituindo na segunda equação:

10a_1 + 45\cdot 400 = 40\,000 \Rightarrow 10a_1 = 22\,000 \Rightarrow a_1 = 2\,200.

Conferindo: 20\cdot 2200 + 190\cdot 400 = 44\,000 + 76\,000 = 120\,000. ✓

No primeiro dia foram vendidos 2.200 eletrodomésticos.

Assunto: Progressão aritmética.

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Questão 9 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2010

Fonte: UFG 2ª etapa 2010 · 2º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗