Questão 16 (2º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4) da 2ª etapa da UFG 2010

Question

Uma fábrica de calçados produz um determinado tipo de sandália, e o custo total de fabricação é de um custo mensal fixo de R$ 4.000,00 mais R$ 8,00 para cada par produzido. O preço de venda de cada par depende da quantidade produzida e é dado pela função p(x) = 40 - \lambda x, sendo x a quantidade de pares produzidos e vendidos e \lambda é o desconto dado em cada par de sandália.

Considerando-se que o lucro mensal, L(x), da empresa é a diferença entre o faturamento e o custo total de fabricação, calcule o valor do desconto \lambda para que a empresa obtenha um lucro máximo vendendo 3.200 pares de sandálias produzidos. (5,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 (2º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4) da 2ª etapa da UFG 2010

2º semestre · 1º dia · Matemática: Função quadrática

Uma fábrica de calçados produz um determinado tipo de sandália, e o custo total de fabricação é de um custo mensal fixo de R$ 4.000,00 mais R$ 8,00 para cada par produzido. O preço de venda de cada par depende da quantidade produzida e é dado pela função p(x) = 40 - \lambda x, sendo x a quantidade de pares produzidos e vendidos e \lambda é o desconto dado em cada par de sandália.

Considerando-se que o lucro mensal, L(x), da empresa é a diferença entre o faturamento e o custo total de fabricação, calcule o valor do desconto \lambda para que a empresa obtenha um lucro máximo vendendo 3.200 pares de sandálias produzidos. (5,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

O custo de fabricação de x pares de sandálias é dado por:

C(x) = 4.000 + 8x

O faturamento pela venda de x pares de sandálias é dado por:

F(x) = x \cdot p(x) = x(40 - \lambda x) = 40x - \lambda x^2

Assim, o lucro da fábrica, em função do números de pares produzidos e vendidos, é dado por:

L(x) = F(x) - C(x) = 40x - \lambda x^2 - (4.000 + 8x)

L(x) = 40x - \lambda x^2 - 4.000 - 8x

L(x) = -\lambda x^2 + 32x - 4.000

Como a venda de 3.200 pares de sandálias significa o lucro máximo, tem-se:

3.200 = \frac{-b}{2a} = \frac{-32}{2(-\lambda)} \Rightarrow \lambda = \frac{32}{2 \times 3.200} = \frac{1}{200} = 0,005

Portanto, valor do desconto \lambda é igual a 0,005. (5,0 pontos)

Critério de correção

A resposta atendeu plenamente ao que foi solicitado quando o candidato interpretou corretamente o problema, expressou corretamente o custo de fabricação, o faturamento e o lucro da fábrica em função da quantidade de pares de sandálias e, com base no lucro máximo, calculou corretamente o valor do desconto. Cada etapa do desenvolvimento matemático foi pontuada independentemente. Respostas parciais foram consideradas, com pontuação proporcional ao seu desenvolvimento. Respostas equivalentes foram consideradas.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

Primeiro montamos o lucro em função de x.

Faturamento: F(x) = x\cdot p(x) = 40x - \lambda x^2.
Custo total: C(x) = 4000 + 8x.
Lucro: L(x) = F(x) - C(x) = -\lambda x^2 + 32x - 4000.

Como \lambda>0 (é um desconto), L(x) é uma parábola com concavidade para baixo. Ela tem máximo no vértice:

x_v = \frac{-32}{2(-\lambda)} = \frac{16}{\lambda}

O enunciado pede que o lucro máximo ocorra para x = 3\,200 pares. Então:

\frac{16}{\lambda} = 3200 \Rightarrow \lambda = \frac{16}{3200} = \frac{1}{200} = 0{,}005

Conferindo: o preço de venda fica p(3200) = 40 - 0{,}005\cdot 3200 = 24, ou seja, R$ 24,00 por par. O lucro máximo é L(3200) = -0{,}005\cdot 3200^2 + 32\cdot 3200 - 4000 = -51\,200 + 102\,400 - 4\,000 = 47\,200, ou seja, R$ 47.200,00.

O desconto é \lambda = 0{,}005 (R$ 0,005 por par, ou seja, \frac{1}{200}).

Assuntos: Função quadrática, Função afim.

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Questão 16 no caderno Grupos 3 e 4 da 2ª etapa da UFG 2010

Fonte: UFG 2ª etapa 2010 · 2º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4. Prova oficial ↗