Questão 1 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2010

Question

A máquina térmica é um dispositivo que pode tanto fornecer energia para um sistema quanto retirar.

$Gráfico de pressão p (em $10^5\ \text{N/m}^2$) no eixo vertical em função do volume V (em $\text{m}^3$) no eixo horizontal, representando um ciclo termodinâmico trapezoidal ABCD percorrido no sentido anti-horário (de A para B, de B para C, de C para D e de D para A). As coordenadas (V; p) dos vértices são: A = (1,0; 1,0), B = (3,0; 1,0), C = (2,5; 2,0) e D = (2,0; 2,0).$

Considere que a máquina térmica opera com um gás ideal em um sistema fechado, conforme o ciclo ilustrado na figura acima. De acordo com o exposto,

a) calcule o trabalho total em um ciclo; (2,0 pontos)

b) explique como ela opera, ou seja, qual é a sua função? Justifique sua resposta; (1,0 ponto)

c) calcule a temperatura no ponto C, considerando que a temperatura no ponto A é de 300\ \text{K}. (2,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2010

2º semestre · 2º dia · Física: Máquinas térmicas e segunda lei da termodinâmica

A máquina térmica é um dispositivo que pode tanto fornecer energia para um sistema quanto retirar.

$Gráfico de pressão p (em $10^5\ \text{N/m}^2$) no eixo vertical em função do volume V (em $\text{m}^3$) no eixo horizontal, representando um ciclo termodinâmico trapezoidal ABCD percorrido no sentido anti-horário (de A para B, de B para C, de C para D e de D para A). As coordenadas (V; p) dos vértices são: A = (1,0; 1,0), B = (3,0; 1,0), C = (2,5; 2,0) e D = (2,0; 2,0).$

Considere que a máquina térmica opera com um gás ideal em um sistema fechado, conforme o ciclo ilustrado na figura acima. De acordo com o exposto,

a) calcule o trabalho total em um ciclo; (2,0 pontos)

b) explique como ela opera, ou seja, qual é a sua função? Justifique sua resposta; (1,0 ponto)

c) calcule a temperatura no ponto C, considerando que a temperatura no ponto A é de 300\ \text{K}. (2,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

a) A área do trapézio é:

Área = (P_D - P_A) \frac{(V_B - V_A) + (V_D - V_C)}{2} = (2 - 1) \times 10^5 \cdot \frac{2 + 0{,}5}{2} = 1{,}25 \times 10^5

Como o ciclo indicado é percorrido no sentido anti-horário, então W = -Área = -125\ kJ

(2,0 pontos)

b) Opera como um refrigerador porque está sendo realizado trabalho sobre o sistema (trabalho negativo).

(1,0 ponto)

c) Pela equação de estado do gás ideal temos que:

\frac{P_A V_A}{T_A} = \frac{P_C V_C}{T_C} \quad \Rightarrow \quad T_C = \left(\frac{P_C}{P_A}\right) \cdot \left(\frac{V_C}{V_A}\right) \cdot T_A \quad \Rightarrow \quad T_C = \left(\frac{2}{1}\right) \cdot \left(\frac{2{,}5}{1{,}0}\right) \cdot 300 = 1500\ K

(2,0 pontos)

Critério de correção

Atendeu plenamente ao que foi solicitado a resposta do candidato que apresentou corretamente: no item “a”, o cálculo do trabalho total em um ciclo; no item “b”, que a máquina é um refrigerador e justificando que o trabalho realizado sobre o sistema no ciclo fechado é negativo; no item “c”, o cálculo da temperatura.

Cada etapa do desenvolvimento foi pontuada independentemente. Respostas com a unidade errada ou sem a unidade e erros cometidos nos cálculos matemáticos foram pontuados parcialmente.

Ver como a UFG publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) O trabalho em um ciclo é, em módulo, a área interna do ciclo no gráfico p\times V. A figura é um trapézio de bases AB = 3{,}0-1{,}0 = 2{,}0\ \text{m}^3 e CD = 2{,}5-2{,}0 = 0{,}5\ \text{m}^3. A altura é \Delta p = (2{,}0-1{,}0)\times10^5 = 1{,}0\times10^5\ \text{N/m}^2.

|W| = \frac{(2{,}0+0{,}5)}{2}\cdot 1{,}0\times10^5 = 1{,}25\times10^5\ \text{J}

O ciclo é percorrido no sentido anti-horário: a expansão (A→B) ocorre a pressão baixa e a compressão (C→D→A) a pressão alta. Por isso o trabalho total é negativo, ou seja, o gás recebe trabalho.

W = -1{,}25\times10^5\ \text{J} (módulo de 1{,}25\times10^5\ \text{J})

b) Como o ciclo é anti-horário, o trabalho total é negativo: um agente externo realiza trabalho sobre o gás. Em um ciclo \Delta U = 0, então Q_{\text{líquido}} = W = -1{,}25\times10^5\ \text{J}. Isso significa que, no total, o gás cede calor ao ambiente.

A máquina consome trabalho externo para retirar calor de uma fonte fria e rejeitá-lo em uma fonte quente. Portanto, ela opera como refrigerador (ou bomba de calor), e não como motor: recebe energia na forma de trabalho para transferir calor da fonte fria para a quente.

c) Para um gás ideal em sistema fechado (mesma quantidade de gás), \dfrac{pV}{T} é constante:

\frac{p_A V_A}{T_A}=\frac{p_C V_C}{T_C}\Rightarrow T_C = T_A\,\frac{p_C V_C}{p_A V_A}=300\cdot\frac{2{,}0\cdot 2{,}5}{1{,}0\cdot 1{,}0}=300\cdot 5

T_C = 1500\ \text{K}

Assuntos: Máquinas térmicas e segunda lei da termodinâmica, Gases ideais e transformações gasosas, Primeira lei da termodinâmica.

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Questão 1 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2010

Fonte: UFG 2ª etapa 2010 · 2º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗