PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 15 (2º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4) da 2ª etapa da UFG 2010
Um professor pediu a seus alunos que desenhassem em seus cadernos uma circunferência de raio r e um ponto P fora do círculo delimitado por ela. Depois, pediu que traçassem por P duas retas: uma delas tangente à circunferência em um ponto T e a outra secante à circunferência nos pontos A e B, sendo \overline{PA} < \overline{PB}. Em seguida, usando semelhança de triângulos, provou que \overline{PA} \times \overline{PB} = \overline{PT}^2.
Sabendo que a corda AB mede 5 cm e que \overline{PT} = 6\text{ cm}, calcule a medida de \overline{PA}, em centímetros.
(5,0 pontos)
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O ponto P está fora da circunferência, e a tangente PT e a secante PAB saem dele. O enunciado já dá a relação \overline{PA}\times\overline{PB}=\overline{PT}^2, que vem da semelhança entre \triangle PTA e \triangle PBT. Eles têm o ângulo P em comum, e o ângulo P\hat{T}A (de segmento) é igual ao ângulo inscrito P\hat{B}T, pois ambos enxergam o mesmo arco TA.
Chame \overline{PA}=x. Como A está entre P e B e \overline{AB}=5, temos \overline{PB}=x+5.
Substituindo na relação, com \overline{PT}=6:
- x(x+5)=6^2
- x^2+5x-36=0
- \Delta=25+144=169, então x=\dfrac{-5\pm 13}{2}, ou seja, x=4 ou x=-9.
Como x é um comprimento, só serve a raiz positiva.
Conferindo: \overline{PB}=9 e 4\times 9=36=6^2. ✔
\overline{PA}=4\ \text{cm}
Assuntos: Circunferência: ângulos, cordas e tangência, Equação do 2º grau.
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Fonte: UFG 2ª etapa 2010 · 2º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4. Prova oficial ↗