Questão 15 (2º semestre · 1º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2010

Resolução comentada

a)

A reta AB é perpendicular ao plano da seção e passa pelo centro O do círculo seccionado. Por isso ela passa também pelo centro da esfera, e AB é um diâmetro da esfera.

Como P está na superfície da esfera, o triângulo APB está inscrito numa circunferência máxima com AB como diâmetro. Logo, \hat{APB}=90^\circ.

1. Hipotenusa, por Pitágoras:
   

   AB^2 = AP^2+BP^2 = 0{,}5^2+1{,}2^2 = 0{,}25+1{,}44 = 1{,}69 \Rightarrow AB = 1{,}3\ \text{m}

2. OP é perpendicular a AB, pois o raio do círculo da seção é perpendicular ao eixo vertical. Então OP é a altura do triângulo retângulo relativa à hipotenusa. Pela relação AB\cdot OP = AP\cdot BP:
   

   OP = \frac{AP\cdot BP}{AB} = \frac{0{,}5\cdot 1{,}2}{1{,}3} = \frac{0{,}6}{1{,}3} = \frac{6}{13}\ \text{m}

3. Área do círculo:
   

   A = \pi\cdot OP^2 = \pi\cdot\frac{36}{169}\ \text{m}^2 \approx 0{,}67\ \text{m}^2

A área do círculo é \dfrac{36\pi}{169}\ \text{m}^2 \approx 0{,}67\ \text{m}^2.

Assuntos: Teorema de Pitágoras e relações métricas, Círculo: comprimento, arcos e áreas.

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