Questão 16 (2º semestre · 1º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2010

Question

Verifica-se que a resistência elétrica de um condutor a uma dada temperatura é diretamente proporcional ao seu comprimento e inversamente proporcional à área de sua seção transversal. O coeficiente de proporcionalidade é chamado de resistividade e depende do material do condutor.

Dois pedaços de fio de cobre de seção transversal circular, estão a uma mesma temperatura e possuem a mesma massa, sendo que as áreas de suas seções transversais são S_1=1{,}5\text{ mm}^2 e S_2=2{,}5\text{ mm}^2 e suas resistências elétricas R_1 e R_2, respectivamente.

De acordo com estas informações, calcule a razão, R_1 / R_2, entre as resistências.

(5,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 (2º semestre · 1º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2010

2º semestre · 1º dia · Matemática: Grandezas proporcionais e divisão proporcional

Verifica-se que a resistência elétrica de um condutor a uma dada temperatura é diretamente proporcional ao seu comprimento e inversamente proporcional à área de sua seção transversal. O coeficiente de proporcionalidade é chamado de resistividade e depende do material do condutor.

Dois pedaços de fio de cobre de seção transversal circular, estão a uma mesma temperatura e possuem a mesma massa, sendo que as áreas de suas seções transversais são S_1=1{,}5\text{ mm}^2 e S_2=2{,}5\text{ mm}^2 e suas resistências elétricas R_1 e R_2, respectivamente.

De acordo com estas informações, calcule a razão, R_1 / R_2, entre as resistências.

(5,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

De acordo com as informações, as resistências elétricas são dadas por:

R_1 = \rho \frac{L_1}{S_1} \qquad \text{e} \qquad R_2 = \rho \frac{L_2}{S_2}

sendo L_1 e L_2 os comprimentos e S_1 e S_2 as áreas das seções transversais dos condutores, respectivamente, e \rho a resistividade do cobre. Desse modo, considerando as expressões de R_1 e R_2, tem-se:

\frac{R_1}{R_2} = \frac{\rho \frac{L_1}{S_1}}{\rho \frac{L_2}{S_2}} = \frac{\rho L_1}{S_1} \cdot \frac{S_2}{\rho L_2} = \frac{L_1 \cdot S_2}{L_2 \cdot S_1}

O enunciado também informa que os pedaços de fio possuem mesma massa. Consequentemente, os volumes dos condutores são iguais, uma vez que a densidade é a mesma por serem ambos de cobre. Como o volume de cada fio é dado pelo produto do comprimento pela área da seção transversal, tem-se:

S_1 \cdot L_1 = S_2 \cdot L_2

Substituindo L_1 = \frac{S_2 \cdot L_2}{S_1} na expressão que dá a razão entre R_1 e R_2, tem-se:

\frac{R_1}{R_2} = \frac{L_2 \cdot S_2^2}{L_2 \cdot S_1^2} = (S_2 / S_1)^2

Portanto, de acordo com os dados do enunciado, conclui-se que:

\frac{R_1}{R_2} = \left(\frac{2{,}5}{1{,}5}\right)^2 = \frac{25}{9}

(5,0 pontos)

Critério de correção

A resposta atendeu plenamente ao que foi solicitado quando o candidato interpretou corretamente o problema, utilizou corretamente as expressões das resistências elétricas e a igualdade dos volumes dos fios para relacionar os comprimentos L_1 e L_2 e calculou corretamente a relação entre as resistências. Cada etapa do desenvolvimento matemático foi pontuada independentemente. Respostas parciais foram consideradas, com pontuação proporcional ao seu desenvolvimento. Respostas equivalentes foram consideradas.

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Resolução comentada

a) Pela lei de Ohm de resistividade, R=\rho\,\dfrac{L}{S}, em que \rho é a resistividade, L o comprimento e S a área da seção transversal.

Os dois fios são de cobre e estão à mesma temperatura, então têm o mesmo \rho. Além disso, têm a mesma massa e a mesma densidade (mesmo material), logo o mesmo volume:

V=S_1L_1=S_2L_2 \;\Rightarrow\; \frac{L_1}{L_2}=\frac{S_2}{S_1}

A razão entre as resistências é:

\frac{R_1}{R_2}=\frac{\rho L_1/S_1}{\rho L_2/S_2}=\frac{L_1}{L_2}\cdot\frac{S_2}{S_1}=\left(\frac{S_2}{S_1}\right)^2

Substituindo os valores:

\frac{R_1}{R_2}=\left(\frac{2{,}5}{1{,}5}\right)^2=\left(\frac{5}{3}\right)^2=\frac{25}{9}\approx 2{,}8

O fio mais fino (S_1) é mais comprido e, por isso, tem resistência maior, o que é coerente com o resultado.

R_1/R_2 = 25/9 \approx 2{,}8

Assunto: Grandezas proporcionais e divisão proporcional.

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Questão 16 no caderno Grupo 2 da 2ª etapa da UFG 2010

Fonte: UFG 2ª etapa 2010 · 2º semestre · 1º dia · Grupo 2. Prova oficial ↗