Questão 14 (1º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4) da 2ª etapa da UFG 2010

Question

Observa-se empiricamente, em diversas séries estatísticas quantitativas, que é muito maior a frequência de dados cujo primeiro dígito (à esquerda) é 1 do que a frequência de dados cujo primeiro dígito é 9. Por exemplo, na série de população dos 5.565 municípios brasileiros publicada pelo IBGE em 2009, existem 1.619 municípios cuja população é expressa por um número iniciado por 1 (por exemplo: Goiânia, 1.281.975 habitantes), enquanto em apenas 209 municípios a população é expressa por um número iniciado por 9 (por exemplo: Itumbiara, 92.832 habitantes). Esse fato é conhecido como lei de Benford, e é expresso da seguinte maneira: em um conjunto de observações numéricas satisfazendo essa lei, a probabilidade de que o primeiro dígito seja D, em que D pode assumir os valores inteiros de 1 a 9, é dada por: P_D = \text{log}(1 + 1/D).

De acordo com essas informações, para uma série de dados que satisfaz a lei de Benford, extraindo um dado ao acaso, qual é a probabilidade de se ter o primeiro dígito menor do que 5?

Use \text{log}\,2 = 0{,}3

(5,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 14 (1º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4) da 2ª etapa da UFG 2010

1º semestre · 1º dia · Matemática: Probabilidade: conceitos básicos

Observa-se empiricamente, em diversas séries estatísticas quantitativas, que é muito maior a frequência de dados cujo primeiro dígito (à esquerda) é 1 do que a frequência de dados cujo primeiro dígito é 9. Por exemplo, na série de população dos 5.565 municípios brasileiros publicada pelo IBGE em 2009, existem 1.619 municípios cuja população é expressa por um número iniciado por 1 (por exemplo: Goiânia, 1.281.975 habitantes), enquanto em apenas 209 municípios a população é expressa por um número iniciado por 9 (por exemplo: Itumbiara, 92.832 habitantes). Esse fato é conhecido como lei de Benford, e é expresso da seguinte maneira: em um conjunto de observações numéricas satisfazendo essa lei, a probabilidade de que o primeiro dígito seja D, em que D pode assumir os valores inteiros de 1 a 9, é dada por: P_D = \text{log}(1 + 1/D).

De acordo com essas informações, para uma série de dados que satisfaz a lei de Benford, extraindo um dado ao acaso, qual é a probabilidade de se ter o primeiro dígito menor do que 5?

Use \text{log}\,2 = 0{,}3

(5,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

A probabilidade de o primeiro dígito ser menor do que 5 é dada por:

P_{D<5}=P_1+P_2+P_3+P_4=\log 2+\log\frac{3}{2}+\log\frac{4}{3}+\log\frac{5}{4}

P_{D<5}=\log 2+\log 3-\log 2+\log 4-\log 3+\log 5-\log 4=\log 5

P_{D<5}=\log\frac{10}{2}=\log 10-\log 2=1-0{,}3=0{,}7

P_{D<5}=70\ \%

(5,0 pontos)

Critério de correção

A resposta atendeu plenamente ao que foi solicitado quando o candidato interpretou corretamente o problema, utilizou corretamente a lei de Benford para calcular as probabilidades e efetuou corretamente a soma entre elas para obter a probabilidade solicitada, utilizando corretamente as propriedades da função logarítmica. Cada etapa do desenvolvimento matemático foi pontuada independentemente. Respostas parciais foram consideradas, com pontuação proporcional ao seu desenvolvimento. Respostas equivalentes foram consideradas.

Ver como a UFG publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

Para o primeiro dígito ser menor que 5, ele deve ser 1, 2, 3 ou 4. Esses eventos são mutuamente excludentes, então somamos as probabilidades:

P = P_1 + P_2 + P_3 + P_4 = \log\left(1+\tfrac{1}{1}\right) + \log\left(1+\tfrac{1}{2}\right) + \log\left(1+\tfrac{1}{3}\right) + \log\left(1+\tfrac{1}{4}\right)

Simplificando cada termo:

P = \log 2 + \log\tfrac{3}{2} + \log\tfrac{4}{3} + \log\tfrac{5}{4}

Pela propriedade da soma de logaritmos, \log a + \log b = \log(ab), o produto é telescópico, pois cada numerador cancela o denominador seguinte:

P = \log\left(2\cdot\tfrac{3}{2}\cdot\tfrac{4}{3}\cdot\tfrac{5}{4}\right) = \log 5

Como 5 = \dfrac{10}{2}, temos:

\log 5 = \log 10 - \log 2 = 1 - 0{,}3 = 0{,}7

A probabilidade de o primeiro dígito ser menor que 5 é 0{,}7, ou seja, 70\%.

Assuntos: Probabilidade: conceitos básicos, Logaritmos e função logarítmica.

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Questão 14 no caderno Grupos 3 e 4 da 2ª etapa da UFG 2010

Fonte: UFG 2ª etapa 2010 · 1º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4. Prova oficial ↗