Questão 12 (1º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4) da 2ª etapa da UFG 2010

Question

A “árvore pitagórica fundamental” é uma forma estudada pela Geometria Fractal e sua aparência característica pode representar o formato dos galhos de uma árvore, de uma couve-flor ou de um brócolis, dependendo de sua variação. A árvore pitagórica abaixo foi construída a partir de um triângulo retângulo, ABC, de lados AB = 3, AC = 4 e CB = 5, e de quadrados construídos sobre seus lados. A figura ramifica-se em quadrados e triângulos retângulos menores, semelhantes aos iniciais, sendo que os ângulos \widehat{C}, \widehat{F} e \widehat{I} são congruentes, seguindo um processo iterativo que pode se estender infinitamente.

Árvore pitagórica construída a partir de triângulos retângulos e quadrados

Com base nessas informações, calcule a área do triângulo GHI, integrante dessa árvore pitagórica.

(5,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 (1º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4) da 2ª etapa da UFG 2010

1º semestre · 1º dia · Matemática: Semelhança e Teorema de Tales

A “árvore pitagórica fundamental” é uma forma estudada pela Geometria Fractal e sua aparência característica pode representar o formato dos galhos de uma árvore, de uma couve-flor ou de um brócolis, dependendo de sua variação. A árvore pitagórica abaixo foi construída a partir de um triângulo retângulo, ABC, de lados AB = 3, AC = 4 e CB = 5, e de quadrados construídos sobre seus lados. A figura ramifica-se em quadrados e triângulos retângulos menores, semelhantes aos iniciais, sendo que os ângulos \widehat{C}, \widehat{F} e \widehat{I} são congruentes, seguindo um processo iterativo que pode se estender infinitamente.

Árvore pitagórica construída a partir de triângulos retângulos e quadrados

Com base nessas informações, calcule a área do triângulo GHI, integrante dessa árvore pitagórica.

(5,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

[Figura: Esquema de uma Árvore de Pitágoras com quadrados e triângulos retângulos semelhantes, com os vértices A, B, C, D, E, F, G, H e I identificados.]

Os triângulos DEF e ABC são semelhantes, e razão é semelhança entre eles é: \frac{\overline{FE}}{\overline{CB}}

Como \overline{FE}=\overline{AC}=4, tem-se:

\frac{\overline{FE}}{\overline{CB}}=\frac{4}{5}

Analogamente, a razão de semelhança entre os triângulos GHI e DEF é também \frac{4}{5}.

Assim, a razão de semelhança entre os triângulos GHI e ABC é:

\frac{4}{5}\times\frac{4}{5}=\frac{16}{25}

Desse modo, obtém-se \overline{GI} e \overline{GH} :

\overline{GI}=\overline{AC}\times\frac{16}{25}=\frac{64}{25}

\overline{GH}=\overline{AB}\times\frac{16}{25}=\frac{48}{25}

Portanto, a área, A, do triângulo GHI é dada por:

A=\frac{1}{2}\times\overline{GH}\times\overline{GI}=\frac{1}{2}\times\frac{64}{25}\times\frac{48}{25}=\frac{3072}{1250}=2{,}4576

(5,0 pontos)

Critério de correção

A resposta atendeu plenamente ao que foi solicitado quando o candidato interpretou corretamente o problema, identificou que os triângulos citados são semelhantes e utilizou corretamente a razão de semelhança entre eles para calcular as medidas dos lados do triângulo GHI, para o cálculo da área solicitada. Cada etapa do desenvolvimento matemático foi pontuada independentemente. Respostas parciais foram consideradas, com pontuação proporcional ao seu desenvolvimento. Respostas equivalentes foram consideradas.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) O triângulo ABC tem ângulo reto em A, com AB=3, AC=4 e CB=5. Nele, \sen \hat C=\frac{3}{5} e \cos \hat C=\frac{4}{5}.

Cada triângulo novo é semelhante ao inicial e é construído sobre o lado externo de um quadrado. Esse lado vira a hipotenusa do triângulo seguinte, e os ângulos \hat C, \hat F e \hat I são iguais.

Triângulo DEF: sua hipotenusa EF é lado do quadrado construído sobre AC, logo EF=4. Com \hat F=\hat C:

DF = EF\cos\hat F = 4\cdot\frac45=\frac{16}{5},\qquad DE=4\cdot\frac35=\frac{12}{5}.
Triângulo GHI: sua hipotenusa IH é lado do quadrado construído sobre DF (o quadrado escuro maior, de vértices F, I, H, D). Então IH=DF=\frac{16}{5}. Com \hat I=\hat C:

GI = \frac{16}{5}\cdot\frac45=\frac{64}{25},\qquad GH=\frac{16}{5}\cdot\frac35=\frac{48}{25}.
Área, com G sendo o ângulo reto:

A_{GHI}=\frac12\cdot\frac{64}{25}\cdot\frac{48}{25}=\frac{1536}{625}.

Essa área vale aproximadamente 2{,}46 unidades de área.

Área de GHI = \dfrac{1536}{625}\approx 2{,}46 unidades de área.

Assuntos: Semelhança e Teorema de Tales, Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 12 no caderno Grupos 3 e 4 da 2ª etapa da UFG 2010

Fonte: UFG 2ª etapa 2010 · 1º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4. Prova oficial ↗