Questão 9 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2009

Question

Na figura abaixo, as circunferências C_1 e C_2 são tangentes entre si e ambas tangentes às retas de equações y=\frac{\sqrt{3}}{3}x e y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x.

No plano cartesiano com eixos x e y, duas retas partem da origem simétricas em relação ao eixo x. Entre essas retas encontram-se duas circunferências tangentes entre si e a ambas as retas: C1, com centro em 1 no eixo x e raio r1; e C2, com centro em x0 no eixo x e raio r2.

Calcule a equação da circunferência C_2, sabendo que o ponto (1, 0) é o centro da circunferência C_1.

(5,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2009

2º semestre · 2º dia · Matemática: Equação da circunferência

Na figura abaixo, as circunferências C_1 e C_2 são tangentes entre si e ambas tangentes às retas de equações y=\frac{\sqrt{3}}{3}x e y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x.

No plano cartesiano com eixos x e y, duas retas partem da origem simétricas em relação ao eixo x. Entre essas retas encontram-se duas circunferências tangentes entre si e a ambas as retas: C1, com centro em 1 no eixo x e raio r1; e C2, com centro em x0 no eixo x e raio r2.

Calcule a equação da circunferência C_2, sabendo que o ponto (1, 0) é o centro da circunferência C_1.

(5,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

O coeficiente angular de y=\frac{\sqrt{3}}{3}x indica que essa reta forma um ângulo de 30^\circ com o eixo x.

Assim, o valor de r_1 é:

\text{sen}\, 30^\circ=\frac{r_1}{1}\Rightarrow r_1=\frac{1}{2}

Considerando a circunferência maior, obtém-se que:

\text{sen}\, 30^\circ=\frac{r_2}{x_0}\Rightarrow r_2=\frac{x_0}{2}

Usando o fato de que as circunferências são tangentes, obtém-se que:

x_0=1+r_1+r_2=1+\frac{1}{2}+r_2=\frac{3}{2}+r_2

Logo,

r_2=\frac{\frac{3}{2}+r_2}{2}\Rightarrow r_2=\frac{3}{2}

Assim,

x_0=1+r_1+r_2=1+\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=3

A circunferência C_2 tem raio \frac{3}{2} e centro em (3,0) . A equação de C_2 é:

(x-3)^2+y^2=\frac{9}{4}

(5,0 pontos)

Critérios de correção:

A resposta atendeu plenamente ao que foi solicitado quando o candidato interpretou corretamente a figura, identificou o coeficiente angular da reta, calculou os raios das circunferências, o centro da circunferência C_2 e utilizou corretamente essas informações para escrever a equação da circunferência C_2. Cada etapa do desenvolvimento matemático foi pontuada independentemente. Respostas parciais foram consideradas, com pontuação proporcional ao seu desenvolvimento. Respostas equivalentes foram consideradas.

Ver como a UFG publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

As retas y=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}x formam um ângulo de 30^\circ com o eixo x. Os centros das duas circunferências estão sobre o eixo x, que é a bissetriz do ângulo entre as retas.

Raio de C_1. O raio é a distância do centro (1,0) à reta x-\sqrt{3}\,y=0 (forma geral de y=\frac{\sqrt3}{3}x):

r_1=\frac{|1-0|}{\sqrt{1+3}}=\frac{1}{2}.
Raio de C_2. O centro é (x_0,0), e o mesmo cálculo dá

r_2=\frac{x_0}{2}.
Tangência entre C_1 e C_2. As circunferências são tangentes externamente, então a distância entre os centros é r_1+r_2:

x_0-1=\frac12+\frac{x_0}{2}\ \Rightarrow\ \frac{x_0}{2}=\frac32\ \Rightarrow\ x_0=3.

Logo r_2=\dfrac{3}{2}.
Equação de C_2. O centro é (3,0) e o raio é \frac32:

(x-3)^2+y^2=\frac{9}{4}.

Resposta: (x-3)^2+y^2=\dfrac{9}{4}

Assuntos: Equação da circunferência, Ponto e reta no plano cartesiano.

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Questão 9 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2009

Fonte: UFG 2ª etapa 2009 · 2º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗