Questão 10 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2009

Question

“Surfe nas ondas do Espaço: como líquidos afetam o movimento de espaçonaves” é o título de uma reportagem da revista Scientific American Brasil (n. 28, ano 3, set. 2004, p.16-17), que relata o trabalho de pesquisadores holandeses com o satélite Sloshsat FLEVO (Equipamento para Experimentação e Verificação de Líquidos em Órbita), preocupados com o comportamento inercial da água em ambiente de gravidade zero. O satélite em questão tem o formato de um cubo com 80\text{ cm} de aresta, carregando em seu interior um tanque com capacidade para 87 litros preenchido com 32 litros de água ultrapura. Considerando essas informações, responda:

a) Qual a fração do volume do satélite ocupada pela água ultrapura? (2,5 pontos)

b) Sabendo que o tanque também tem formato cúbico, qual é a medida, em cm, de sua aresta?
(2,5 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2009

2º semestre · 2º dia · Matemática: Prismas e paralelepípedos

“Surfe nas ondas do Espaço: como líquidos afetam o movimento de espaçonaves” é o título de uma reportagem da revista Scientific American Brasil (n. 28, ano 3, set. 2004, p.16-17), que relata o trabalho de pesquisadores holandeses com o satélite Sloshsat FLEVO (Equipamento para Experimentação e Verificação de Líquidos em Órbita), preocupados com o comportamento inercial da água em ambiente de gravidade zero. O satélite em questão tem o formato de um cubo com 80\text{ cm} de aresta, carregando em seu interior um tanque com capacidade para 87 litros preenchido com 32 litros de água ultrapura. Considerando essas informações, responda:

a) Qual a fração do volume do satélite ocupada pela água ultrapura? (2,5 pontos)

b) Sabendo que o tanque também tem formato cúbico, qual é a medida, em cm, de sua aresta?
(2,5 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

a) O volume do satélite é dado por:

V_1 = 80^3 = 512.000\text{ cm}^3

O volume de água ultrapura é de 32 litros, que representa:

V_2 = 32.000\text{ cm}^3

A fração que V_2 representa em relação a V_1 é:

\frac{V_2}{V_1} = \frac{32.000}{512.000} = \frac{1}{16} \qquad \text{(2,5 pontos)}

Critérios de correção:

A resposta atendeu plenamente ao que foi solicitado quando o candidato calculou corretamente os volumes pedidos, bem como calculou a fração que V_2 representa em relação a V_1, realizando corretamente as transformações de unidade de medida necessárias. Cada etapa do desenvolvimento matemático foi pontuada independentemente. Respostas parciais foram consideradas, com pontuação proporcional ao seu desenvolvimento. Respostas equivalentes foram consideradas.

b) Sendo V o volume do tanque de combustível e a o valor de sua aresta, tem-se que:

V = 87.000 = a^3 \Rightarrow a = 10\sqrt[3]{87}\text{ cm} \qquad \text{(2,5 pontos)}

Critérios de correção:

A resposta atendeu plenamente ao que foi solicitado quando o candidato utilizou corretamente o conceito de volume de um paralelepípedo para calcular a aresta do tanque de combustível, bem como realizou corretamente as transformações de unidade de medida necessárias. Cada etapa do desenvolvimento matemático foi pontuada independentemente. Respostas parciais foram consideradas, com pontuação proporcional ao seu desenvolvimento. Respostas equivalentes foram consideradas.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) O satélite é um cubo de aresta 80\ \text{cm}, então seu volume é:

V = 80^3 = 512\,000\ \text{cm}^3

Como 1\ \text{L} = 1\,000\ \text{cm}^3, isso dá 512\ \text{L}.

A água ocupa 32\ \text{L} (e não os 87\ \text{L} de capacidade do tanque). A fração do volume do satélite ocupada pela água é:

\frac{32}{512} = \frac{1}{16}

A água ocupa \dfrac{1}{16} do volume do satélite (6{,}25\%).

b) A capacidade do tanque é 87\ \text{L} = 87\,000\ \text{cm}^3. Num cubo de aresta a, o volume é a^3, então:

a^3 = 87\,000 \Rightarrow a = \sqrt[3]{87\,000} = 10\cdot\sqrt[3]{87}

Como 4^3 = 64 e 5^3 = 125, temos \sqrt[3]{87} entre 4 e 5. Testando, 4{,}4^3 = 85{,}18 e 4{,}43^3 \approx 86{,}9, logo \sqrt[3]{87} \approx 4{,}43.

Portanto a \approx 44{,}3\ \text{cm}. Isso é coerente, pois o tanque cabe dentro do satélite, de aresta 80\ \text{cm}.

A aresta do tanque é \sqrt[3]{87\,000}\ \text{cm} \approx 44\ \text{cm}.

Assuntos: Prismas e paralelepípedos, Potenciação e radiciação, Unidades de medida e conversões.

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Questão 10 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2009

Fonte: UFG 2ª etapa 2009 · 2º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗