Questão 8 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2009

Question

Um bloco é colocado em repouso sobre uma superfície cuja secção é um arco de circunferência de raio R, conforme a figura abaixo. Se a componente tangencial ( \text{P}_{\text{T}} ) da força peso for igual à força de atrito estática máxima, o bloco estará na iminência de deslizar; se for menor, ele permanece em repouso. Essa força de atrito estática máxima é diretamente proporcional à intensidade da força normal ( \mathbf{N} ) aplicada pela superfície sobre o bloco, onde a constante de proporcionalidade é o coeficiente de atrito estático ( \mu_e ). Considere que o raio R seja suficientemente grande, de modo que a face do bloco possa ser considerada completamente apoiada na superfície. A figura abaixo ilustra a posição do bloco quando ele está na iminência de deslizar, indicando-se o ângulo \theta que corresponde a essa situação.

Nessas condições, determine uma expressão que dá o valor do coeficiente de atrito estático \mu_e em função de \sen(\theta). (5,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 8 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2009

2º semestre · 2º dia · Matemática: Trigonometria no triângulo retângulo

Um bloco é colocado em repouso sobre uma superfície cuja secção é um arco de circunferência de raio R, conforme a figura abaixo. Se a componente tangencial ( \text{P}_{\text{T}} ) da força peso for igual à força de atrito estática máxima, o bloco estará na iminência de deslizar; se for menor, ele permanece em repouso. Essa força de atrito estática máxima é diretamente proporcional à intensidade da força normal ( \mathbf{N} ) aplicada pela superfície sobre o bloco, onde a constante de proporcionalidade é o coeficiente de atrito estático ( \mu_e ). Considere que o raio R seja suficientemente grande, de modo que a face do bloco possa ser considerada completamente apoiada na superfície. A figura abaixo ilustra a posição do bloco quando ele está na iminência de deslizar, indicando-se o ângulo \theta que corresponde a essa situação.

Nessas condições, determine uma expressão que dá o valor do coeficiente de atrito estático \mu_e em função de \sen(\theta). (5,0 pontos)

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

De acordo com a figura, as componentes do peso P nas direções normal e tangencial são dadas respectivamente por:

P_N=P\text{cos}(\alpha)=P\text{sen}(\theta) \quad \text{e} \quad P_T=P\text{sen}(\alpha)=P\text{cos}(\theta)

onde \alpha=90-\theta, pois a força peso é vertical.

A força de reação (N) e a componente P_N tem mesmo módulo, logo N=P_N, pois não há movimento nessa direção.

[Figura: Esquema de um setor circular com raio R e linha horizontal de apoio. Sobre o arco, há um bloco submetido à força peso P vertical para baixo; às componentes normal P_N e tangencial P_T; à força normal N em sentido oposto a P_N; e à força de atrito F_A ao longo da tangente em sentido oposto a P_T. O ângulo entre o raio que sustenta o bloco e a horizontal é indicado por \theta, e o ângulo entre o raio e a vertical de P é indicado por \alpha.]

A força de atrito estática máxima é dada por F_A=\mu_e N.

Logo,

F_A=\mu_e P_N=\mu_e P\text{sen}(\theta).

De acordo com o texto, o bloco está na iminência de deslizar, quando P_T=F_A. Logo, nesse caso, obtém-se a equação:

P\text{cos}(\theta)=\mu_e P\text{sen}(\theta)

ou, eliminando o fator P,

\text{cos}(\theta)=\mu_e\text{sen}(\theta)

Como \text{sen}^2\theta+\text{cos}^2\theta=1 e \theta é um ângulo agudo, tem-se que \text{cos}\theta=\sqrt{1-\text{sen}^2\theta} e, portanto,

\mu_e=\frac{\sqrt{1-\text{sen}^2\theta}}{\text{sen}\theta} \qquad \text{(5,0 pontos)}

Critérios de correção:

A resposta atendeu plenamente ao que foi solicitado quando o candidato interpretou corretamente o problema e a figura, identificou as componentes tangencial e normal em função do ângulo \theta, identificou a componente normal com a força normal, utilizou corretamente as informações e os dados do problema para escrever o coeficiente de atrito estático em função do ângulo \theta e, finalmente, utilizou a relação fundamental da trigonometria para escrever o coeficiente de atrito estático em função do \text{sen}(\theta). Cada etapa do desenvolvimento matemático foi pontuada independentemente. Respostas parciais foram consideradas, com pontuação proporcional ao seu desenvolvimento. Respostas equivalentes foram consideradas.

Ver como a UFG publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

a)

O bloco está sobre o arco, então a normal N tem a direção do raio, que liga o bloco ao centro. A componente P_N do peso também está nessa direção, e P_T é tangente ao arco, perpendicular ao raio.

O raio forma o ângulo \theta com a horizontal. Logo, ele forma com a vertical, que é a direção do peso, o ângulo 90^\circ-\theta. Assim:

P_N = P\cos(90^\circ-\theta)=P\,\sen\theta \qquad\qquad P_T = P\,\sen(90^\circ-\theta)=P\cos\theta

Na direção perpendicular à superfície não há aceleração, então N = P_N = P\,\sen\theta.

Na iminência de deslizar, a componente tangencial do peso é igual à força de atrito estático máxima:

P_T = F_A = \mu_e N \;\Rightarrow\; P\cos\theta=\mu_e\,P\,\sen\theta

Cortando P:

\mu_e=\frac{\cos\theta}{\sen\theta}

Como 0<\theta<90^\circ, \cos\theta>0 e vale \cos\theta=\sqrt{1-\sen^2\theta}. Portanto:

\boxed{\mu_e=\frac{\sqrt{1-\sen^2\theta}}{\sen\theta}}

Verificação: no topo, \theta=90^\circ, a superfície é horizontal e dá \mu_e=0, como esperado.

Resposta: \mu_e=\dfrac{\sqrt{1-\sen^2\theta}}{\sen\theta} (equivalente a \mu_e=\cotg\theta).

Assunto: Trigonometria no triângulo retângulo.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 8 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2009

Fonte: UFG 2ª etapa 2009 · 2º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗