Questão 9 (1º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2009

Question

Dois automóveis, a uma distância inicial X um do outro, deslocam-se, um em direção ao outro, com velocidades médias constantes de 25\ \text{m/s} e 20\ \text{m/s}, respectivamente.

Calcule:

a) o décimo termo da seqüência dada pela distância entre os dois automóveis a cada segundo, admitindo que o primeiro termo dessa seqüência é X = 800\ \text{m}; (2,5 pontos)

b) o valor de X, sabendo que os dois automóveis deverão encontrar-se após 30 segundos. (2,5 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 (1º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2009

1º semestre · 2º dia · Matemática: Progressão aritmética

Dois automóveis, a uma distância inicial X um do outro, deslocam-se, um em direção ao outro, com velocidades médias constantes de 25\ \text{m/s} e 20\ \text{m/s}, respectivamente.

Calcule:

a) o décimo termo da seqüência dada pela distância entre os dois automóveis a cada segundo, admitindo que o primeiro termo dessa seqüência é X = 800\ \text{m}; (2,5 pontos)

b) o valor de X, sabendo que os dois automóveis deverão encontrar-se após 30 segundos. (2,5 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

a) Denotando por E_1(t) e E_2(t) a posição de cada um dos automóveis, tem-se que

E_1(t)=25.t

E_2(t)=800-20.t

Para cada instante t (dado em segundos), a distância entre os dois automóveis é dada por

D(t)=E_2(t)-E_1(t)=800-45.t

O primeiro termo da sequência é 800\text{ m}, para t=0. Assim, o décimo termo da sequência é

D(9)=800-45.9=395\text{ m}

(2,5 pontos)

Critério de correção:

Atendeu plenamente ao que foi solicitado o candidato que utilizou corretamente os conceitos de velocidade relativa e progressão aritmética. Cada etapa do desenvolvimento matemático foi pontuada independentemente. Respostas parciais foram consideradas, com pontuação proporcional ao seu desenvolvimento. Respostas equivalentes foram consideradas.

b) Os automóveis se encontrarão após 30 segundos se a distância entre eles for igual a zero para t = 30.

Deve-se ter, então, que

25.t=X-20.t

Substituindo t = 30, obtém-se que

X=1350\text{ m}

(2,5 pontos)

Critério de correção:

Atendeu plenamente ao que foi solicitado o candidato que resolveu corretamente a equação associada ao problema. Cada etapa do desenvolvimento matemático foi pontuada independentemente. Respostas parciais foram consideradas, com pontuação proporcional ao seu desenvolvimento. Respostas equivalentes foram consideradas.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Os carros se aproximam um do outro, então a distância diminui à razão de 25 + 20 = 45\ \text{m} a cada segundo. A sequência das distâncias, medidas a cada segundo, é uma progressão aritmética de primeiro termo a_1 = 800 e razão r = -45.

O décimo termo é:

a_{10} = a_1 + 9r = 800 + 9\cdot(-45) = 800 - 405 = 395

Conferindo: no 10º termo se passaram 9 segundos (o primeiro termo corresponde ao instante t=0), e a distância percorrida foi 45 \cdot 9 = 405\ \text{m}.

Resposta: a_{10} = 395\ \text{m}.

b) O encontro ocorre quando a distância entre os carros se anula. Em 30 s, os dois carros percorrem juntos:

45 \cdot 30 = 1\,350\ \text{m}

Essa soma é exatamente a distância inicial X. Individualmente, o carro de 25\ \text{m/s} anda 750\ \text{m} e o de 20\ \text{m/s} anda 600\ \text{m}, e 750 + 600 = 1\,350.

Resposta: X = 1\,350\ \text{m}.

Assuntos: Progressão aritmética, Razões especiais: velocidade, densidade e vazão.

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Questão 9 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2009

Fonte: UFG 2ª etapa 2009 · 1º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗