PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 10 (1º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2009
Considere o polinômio p(x)=ax^2+bx+1, onde a e b são números reais. Calcule os valores de a e b, sabendo que o número complexo 2+i é uma raiz de p(x). (5,0 pontos)
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a) Como a e b são reais, os coeficientes de p(x) são reais. Nesse caso, se 2+i é raiz, o conjugado 2-i também é raiz. Como p tem grau 2 (com a\neq 0), essas são suas duas raízes.
Usando as relações de Girard:
- Produto das raízes: (2+i)(2-i)=4+1=5=\dfrac{1}{a}, logo a=\dfrac{1}{5}.
- Soma das raízes: (2+i)+(2-i)=4=-\dfrac{b}{a}, logo b=-4a=-\dfrac{4}{5}.
Conferindo por substituição direta: (2+i)^2=3+4i, então
p(2+i)=a(3+4i)+b(2+i)+1=(3a+2b+1)+(4a+b)i.
Com a=\frac{1}{5} e b=-\frac{4}{5}:
- Parte real: \frac{3}{5}-\frac{8}{5}+1=0.
- Parte imaginária: \frac{4}{5}-\frac{4}{5}=0.
Portanto p(x)=\dfrac{x^2-4x+5}{5} e a=\dfrac{1}{5} e b=-\dfrac{4}{5}.
Assuntos: Números complexos, Polinômios.
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Fonte: UFG 2ª etapa 2009 · 1º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗