Questão 8 (1º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2009

Question

No início da era cristã, o astrônomo Cláudio Ptolomeu escreveu um livro intitulado Syntaxis mathematica (conhecido como o Almagesto), que influenciou consideravelmente o desenvolvimento da trigonometria nas épocas subseqüentes. Utilizando uma circunferência de raio r = 60, Ptolomeu desenvolveu uma tábua de cordas muito semelhante a uma tábua de senos, na qual a um ângulo \theta, tal que 0 \leq \theta \leq 180^\circ, correspondia a uma medida chamada “corda” do ângulo \theta (crd\ \theta), igual ao comprimento do segmento AB, como mostra figura a seguir.

Circunferência de centro C e raio 60, com dois raios CA e CB delimitando um ângulo central θ. A corda ligando os vértices A e B está indicada como crd θ.

Com base nestas informações, sendo C o centro da circunferência,

a) calcule crd\ 90^\circ; (2,0 pontos)

b) escreva a expressão que determina crd\ \theta em função de \sen \frac{\theta}{2}. (3,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 8 (1º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2009

1º semestre · 2º dia · Matemática: Trigonometria no triângulo retângulo

No início da era cristã, o astrônomo Cláudio Ptolomeu escreveu um livro intitulado Syntaxis mathematica (conhecido como o Almagesto), que influenciou consideravelmente o desenvolvimento da trigonometria nas épocas subseqüentes. Utilizando uma circunferência de raio r = 60, Ptolomeu desenvolveu uma tábua de cordas muito semelhante a uma tábua de senos, na qual a um ângulo \theta, tal que 0 \leq \theta \leq 180^\circ, correspondia a uma medida chamada “corda” do ângulo \theta (crd\ \theta), igual ao comprimento do segmento AB, como mostra figura a seguir.

Circunferência de centro C e raio 60, com dois raios CA e CB delimitando um ângulo central θ. A corda ligando os vértices A e B está indicada como crd θ.

Com base nestas informações, sendo C o centro da circunferência,

a) calcule crd\ 90^\circ; (2,0 pontos)

b) escreva a expressão que determina crd\ \theta em função de \sen \frac{\theta}{2}. (3,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

a) Considerando x = crd\text{ }90^\circ, pelo Teorema de Pitágoras, tem-se que

x^2 = 60^2 + 60^2 = 2 \cdot 60^2

Dessa equação, obtém-se que

x = 60\sqrt{2}

(2,0 pontos)

Critério de correção:

Atendeu plenamente ao que foi solicitado o candidato que utilizou corretamente o Teorema de Pitágoras. Respostas parciais foram consideradas, com pontuação proporcional ao seu desenvolvimento. Respostas equivalentes foram consideradas.

b) Considerando x = crd\,\theta, CD a bissetriz do ângulo \theta e o fato de que o triângulo ABC, na figura abaixo, é isósceles,

[Figura: Circunferência de centro C com um triângulo isósceles ABC inscrito. Os lados CA e CB são raios de medida 60 e formam o ângulo central \theta no vértice C. O segmento CD é a bissetriz do ângulo \theta, interceptando a corda AB no ponto D.]

tem-se que

\overline{AD} = \frac{x}{2} \text{ e } C\hat{D}A = 90^\circ

Segue-se então que

\sen\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{x/2}{60}

Dessa forma, a expressão que determina a corda em função de \sen\left(\frac{\theta}{2}\right) é dada por

x = 120 \cdot \sen\left(\frac{\theta}{2}\right)

(3,0 pontos)

Critério de correção:

Atendeu plenamente ao que foi solicitado o candidato que utilizou corretamente as relações trigonométricas no triângulo retângulo. Cada etapa do desenvolvimento matemático foi pontuada independentemente. Respostas parciais foram consideradas, com pontuação proporcional ao seu desenvolvimento. Respostas equivalentes foram consideradas.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Para \theta = 90^\circ, o triângulo ABC tem CA = CB = 60 e ângulo reto em C. Então AB é a hipotenusa, e pelo teorema de Pitágoras:

crd\ 90^\circ = \sqrt{60^2 + 60^2} = 60\sqrt{2}

Isso dá aproximadamente 84{,}85.

crd\ 90^\circ = 60\sqrt{2}

b) O triângulo ABC é isósceles, com CA = CB = 60. Traçamos a altura relativa à base AB a partir de C. Ela também é mediana e bissetriz. Seja M o ponto médio de AB. Então:

o ângulo A\hat{C}M mede \frac{\theta}{2};
o triângulo AMC é retângulo em M, com hipotenusa CA = 60;
o cateto AM é oposto ao ângulo \frac{\theta}{2}.

Portanto:

\sen\frac{\theta}{2} = \frac{AM}{60} \Rightarrow AM = 60\,\sen\frac{\theta}{2}

Como AB = 2\cdot AM:

crd\ \theta = 120\,\sen\frac{\theta}{2}

Conferência: para \theta = 90^\circ, 120\,\sen 45^\circ = 120\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = 60\sqrt{2}, o mesmo valor do item a.

crd\ \theta = 120\,\sen\dfrac{\theta}{2}

Assuntos: Trigonometria no triângulo retângulo, Circunferência: ângulos, cordas e tangência.

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Questão 8 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2009

Fonte: UFG 2ª etapa 2009 · 1º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗