PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 16 (1º semestre · 1º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2009
A figura abaixo representa duas circunferências, C_1 e C_2,dispostas simetricamente em relação ao eixo x, com raio r = 1\text{ cm} e centros nos pontos O_1 = (0,3) e O_2 = (0, - 3),respectivamente.
Considere um ponto qualquer A \in C_1 e o ponto C \in C_2, simétrico a A, em relação ao eixo x. O segmento AC é a diagonal do quadrado ABCD, perpendicular ao eixo x. Diante do exposto,
a) determine as coordenadas dos vértices do quadrado ABCD que possui área máxima; (2,0 pontos)
b) calcule a área do quadrado ABCD em função do ângulo \alpha, indicado na figura. (3,0 pontos)
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Resolução comentada
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a) Seja A=(x,y) em C_1, ou seja, x^2+(y-3)^2=1. O simétrico em relação ao eixo x é C=(x,-y), e a diagonal mede AC=2y.
O lado do quadrado é \ell=\dfrac{d}{\sqrt2}, então a área é
A área é máxima quando y é máximo. Em C_1, o maior valor de y é 3+1=4, atingido apenas em x=0. Logo A=(0,4) e C=(0,-4).
As diagonais do quadrado se cruzam no ponto médio de AC, que é a origem. Elas têm o mesmo comprimento e são perpendiculares, então B e D ficam no eixo x, a 4 cm da origem: B=(-4,0) e D=(4,0).
Conferindo: S=2\cdot 4^2=32\ \text{cm}^2, que é também \ell^2 com \ell=4\sqrt2.
Vértices: A=(0,4), B=(-4,0), C=(0,-4), D=(4,0).
b) O ângulo \alpha é medido em O_2, entre a vertical para cima e o raio O_2C. Com r=1, as coordenadas de C são
O ponto A é o simétrico de C, então A=(\sen\alpha,\,3-\cos\alpha).
A diagonal vale d=AC=2(3-\cos\alpha). A área é
Teste: para \alpha=\pi, o ponto C está em (0,-4) e S=2\cdot16=32, o mesmo valor do item (a).
S(\alpha)=2(3-\cos\alpha)^2\ \text{cm}^2
Assuntos: Circunferência: ângulos, cordas e tangência, Áreas e perímetros de polígonos, Ponto e reta no plano cartesiano.
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Fonte: UFG 2ª etapa 2009 · 1º semestre · 1º dia · Grupo 2. Prova oficial ↗