Questão 15 (1º semestre · 1º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2009

Question

A Secretaria de Vigilância em Saúde, do Ministério da Saúde brasileiro, publicou um manual sobre procedimentos de enfermagem para atendimento ao paciente com suspeita de dengue. Esse manual indica a “prova do laço” como um exame obrigatório em todos os casos suspeitos de dengue. Para a aplicação dessa prova, deve-se obedecer aos seguintes procedimentos:

I. Desenhar um quadrado de 2,5 cm de lado (ou uma área ao redor da falange distal do polegar) no antebraço da pessoa e verificar a pressão arterial (deitada ou sentada);
II. Calcular o valor médio entre a pressão arterial sistólica e a pressão arterial diastólica;
III. Insuflar novamente o manguito até o valor médio e manter por cinco minutos em adultos (em crianças, 3 minutos) ou até o aparecimento de petéquias ou equimoses (pequenas manchas vermelhas na pele);
IV. Contar o número de petéquias no quadrado. A prova será positiva se houver 20 ou mais petéquias em adultos e 10 ou mais em crianças.

BRASIL. Ministério da Saúde. Secretaria de Vigilância em Saúde. Diretoria Técnica de Gestão. Dengue: manual de enfermagem – adulto e criança. Brasília: Ministério da Saúde, 2008. p. 11. (Adaptado).

Considere estas informações, para responder ao que se pede.

a) Na realização desse exame, utilizou-se o polegar para traçar a área na qual seriam contadas as petéquias. O desenho traçado tinha o formato aproximado de um semicírculo justaposto a um quadrado, como mostra a figura a seguir.

Esquema geométrico formado por um quadrado e um semicírculo acoplado ao seu lado direito, com o diâmetro do semicírculo coincidindo com o lado do quadrado.

Calcule o raio aproximado desse semicírculo para que a área da região formada pelo quadrado e o semicírculo seja igual à área de um quadrado de lado 2,5 cm. (2,5 pontos)

b) Ao se realizar a “prova do laço” em um adulto, foi utilizado, por engano, um quadrado de lado 5 cm. Considerando que a quantidade de petéquias por \text{cm}^2 determina se o resultado do exame é positivo ou negativo, determine a quantidade mínima de petéquias ( N ) que devem ser contadas, neste caso, para que o exame dê resultado positivo. (2,5 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 15 (1º semestre · 1º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2009

1º semestre · 1º dia · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

A Secretaria de Vigilância em Saúde, do Ministério da Saúde brasileiro, publicou um manual sobre procedimentos de enfermagem para atendimento ao paciente com suspeita de dengue. Esse manual indica a “prova do laço” como um exame obrigatório em todos os casos suspeitos de dengue. Para a aplicação dessa prova, deve-se obedecer aos seguintes procedimentos:

I. Desenhar um quadrado de 2,5 cm de lado (ou uma área ao redor da falange distal do polegar) no antebraço da pessoa e verificar a pressão arterial (deitada ou sentada);
II. Calcular o valor médio entre a pressão arterial sistólica e a pressão arterial diastólica;
III. Insuflar novamente o manguito até o valor médio e manter por cinco minutos em adultos (em crianças, 3 minutos) ou até o aparecimento de petéquias ou equimoses (pequenas manchas vermelhas na pele);
IV. Contar o número de petéquias no quadrado. A prova será positiva se houver 20 ou mais petéquias em adultos e 10 ou mais em crianças.

BRASIL. Ministério da Saúde. Secretaria de Vigilância em Saúde. Diretoria Técnica de Gestão. Dengue: manual de enfermagem – adulto e criança. Brasília: Ministério da Saúde, 2008. p. 11. (Adaptado).

Considere estas informações, para responder ao que se pede.

a) Na realização desse exame, utilizou-se o polegar para traçar a área na qual seriam contadas as petéquias. O desenho traçado tinha o formato aproximado de um semicírculo justaposto a um quadrado, como mostra a figura a seguir.

Esquema geométrico formado por um quadrado e um semicírculo acoplado ao seu lado direito, com o diâmetro do semicírculo coincidindo com o lado do quadrado.

Calcule o raio aproximado desse semicírculo para que a área da região formada pelo quadrado e o semicírculo seja igual à área de um quadrado de lado 2,5 cm. (2,5 pontos)

b) Ao se realizar a “prova do laço” em um adulto, foi utilizado, por engano, um quadrado de lado 5 cm. Considerando que a quantidade de petéquias por \text{cm}^2 determina se o resultado do exame é positivo ou negativo, determine a quantidade mínima de petéquias ( N ) que devem ser contadas, neste caso, para que o exame dê resultado positivo. (2,5 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

a) Na prova do laço realizada, 2R é o lado do quadrado desenhado, sendo R o raio do semicírculo. Então, de acordo com as informações

4\text{R}^2 + \frac{\pi R^2}{2} = (2{,}5)^2

Logo,

R^2 = (2{,}5)^2 \biggl(\frac{2}{\pi + 8}\biggr) \Rightarrow R = 2{,}5 \sqrt{\frac{2}{\pi + 8}}\ cm

\text{ou}\quad R \approx 1{,}06\ cm

(2,5 pontos)

Critério de correção:

Atendeu plenamente ao que foi solicitado o candidato que utilizou corretamente as informações do problema, o conceito de área e resolveu corretamente a equação associada. Cada etapa do desenvolvimento matemático foi pontuada independentemente. Respostas parciais foram consideradas, com pontuação proporcional ao seu desenvolvimento. Respostas equivalentes foram consideradas.

b) Para que o exame dê resultado positivo, deve-se contar no mínimo 20 petéquias em um quadrado de lado 2,5 cm. Como a quantidade de petéquias deve ser proporcional à área, então:

N = \frac{25 \cdot 20}{6{,}25}

N = 80\text{ petéquias}

Ou seja, devem ser contadas no mínimo 80 petéquias dentro do quadrado de lado 5 cm, para que o resultado seja positivo.

(2,5 pontos)

Critério de correção:

Atendeu plenamente ao que foi solicitado o candidato que utilizou corretamente as informações e o conceito de proporção. Cada etapa do desenvolvimento matemático foi pontuada independentemente. Respostas parciais foram consideradas, com pontuação proporcional ao seu desenvolvimento. Respostas equivalentes foram consideradas.

Ver como a UFG publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Se o raio do semicírculo é r, o diâmetro é 2r. Como o diâmetro coincide com o lado do quadrado, o quadrado tem lado 2r.

A área da figura é a do quadrado mais a do semicírculo:

A = (2r)^2 + \frac{\pi r^2}{2} = r^2\left(4+\frac{\pi}{2}\right)

Essa área deve ser igual à de um quadrado de lado 2{,}5\ \text{cm}, isto é, 6{,}25\ \text{cm}^2:

r^2\left(4+\frac{\pi}{2}\right)=6{,}25 \Rightarrow r^2=\frac{12{,}5}{8+\pi}

Com \pi\approx 3{,}14, temos r^2\approx \dfrac{12{,}5}{11{,}14}\approx 1{,}12, logo r\approx 1{,}06\ \text{cm}. Com \pi\approx 3, o resultado é r\approx 1{,}07\ \text{cm}. Nos dois casos, r\approx 1{,}1\ \text{cm}.

Raio \approx 1{,}1\ \text{cm}.

b) Em adultos, a prova é positiva com 20 ou mais petéquias no quadrado correto, de área 2{,}5^2 = 6{,}25\ \text{cm}^2. Pelo enunciado, o que vale é a densidade de petéquias por \text{cm}^2. A densidade mínima para o resultado positivo é:

\frac{20}{6{,}25}=3{,}2\ \text{petéquias/cm}^2

O quadrado usado por engano tem área 5^2=25\ \text{cm}^2. Então é preciso que:

\frac{N}{25}\ge 3{,}2 \Rightarrow N\ge 80

N = 80 petéquias (no mínimo).

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Grandezas proporcionais e divisão proporcional.

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Questão 15 no caderno Grupo 2 da 2ª etapa da UFG 2009

Fonte: UFG 2ª etapa 2009 · 1º semestre · 1º dia · Grupo 2. Prova oficial ↗