Questão 14 (1º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4) da 2ª etapa da UFG 2009

Question

A figura A mostrada abaixo representa um copo na forma de um tronco de cone reto, cujos raios das bases são R_1 e R_2 e cuja geratriz tem comprimento L. Ao rolar esse copo sobre uma superfície horizontal, sem escorregar, ele descreve uma coroa circular, conforme a figura B apresentada abaixo.

Figura A: copo em formato de tronco de cone com base menor de raio R₁, base maior de raio R₂ e geratriz de comprimento L Figura B: copo deitado sobre um plano rolando e descrevendo uma trajetória em forma de coroa circular em torno do vértice imaginário do cone

Obtenha uma expressão para a área da coroa circular descrita pelo copo na figura B, em função dos raios das bases e da geratriz do tronco de cone. (5,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 14 (1º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4) da 2ª etapa da UFG 2009

1º semestre · 1º dia · Matemática: Cone e tronco de cone

A figura A mostrada abaixo representa um copo na forma de um tronco de cone reto, cujos raios das bases são R_1 e R_2 e cuja geratriz tem comprimento L. Ao rolar esse copo sobre uma superfície horizontal, sem escorregar, ele descreve uma coroa circular, conforme a figura B apresentada abaixo.

Figura A: copo em formato de tronco de cone com base menor de raio R₁, base maior de raio R₂ e geratriz de comprimento L Figura B: copo deitado sobre um plano rolando e descrevendo uma trajetória em forma de coroa circular em torno do vértice imaginário do cone

Obtenha uma expressão para a área da coroa circular descrita pelo copo na figura B, em função dos raios das bases e da geratriz do tronco de cone. (5,0 pontos)

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

Denotando por x o raio do círculo interior, a área da coroa circular é dada pela expressão

A = π(L+x)^2 - π x^2 = π(L^2 + 2Lx)

Considerando um corte passando pelo centro do cone que contém o copo,

[Figura: Diagrama esquemático em corte transversal do cone, mostrando o vértice E, os segmentos verticais representando os raios R_2 no ponto B e R_1 no ponto F, os pontos C e D alinhados em direção ao vértice E por uma linha tracejada, e as medidas L no segmento BF e x no segmento FE.]

pela semelhança dos triângulos BCE e FDE obtém-se a relação

\frac{L+x}{x} = \frac{R_2}{R_1}

Resolvendo esta equação, obtém-se a expressão para x como sendo

x = \frac{L R_1}{R_2 - R_1}

Substituindo o valor de x na expressão da área da coroa circular, obtém-se que a área é dada por

A = \pi L^2 \left(\frac{R_2 + R_1}{R_2 - R_1}\right)

(5,0 pontos)

Critério de correção:

Atendeu plenamente ao que foi solicitado o candidato que utilizou corretamente o conceito de semelhança de triângulos e de área de uma coroa circular. Cada etapa do desenvolvimento matemático foi pontuada independentemente. Respostas parciais foram consideradas, com pontuação proporcional ao seu desenvolvimento. Respostas equivalentes foram consideradas.

Ver como a UFG publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Ao rolar sem escorregar, o copo gira em torno do vértice V do cone completo, que fica fixo no plano. Cada ponto das circunferências das bases descreve uma circunferência com centro em V. A coroa tem então como raio interno a distância de V à base menor e como raio externo a distância de V à base maior. Essas distâncias são as geratrizes dos cones de bases R_1 e R_2.

Seja x a geratriz do cone pequeno, o que foi "cortado" para formar o tronco. A geratriz do cone grande é x+L.

Por semelhança entre os dois cones:

\frac{x}{R_1}=\frac{x+L}{R_2}\ \Rightarrow\ xR_2 = xR_1 + LR_1\ \Rightarrow\ x=\frac{LR_1}{R_2-R_1}.

Logo, o raio externo é

x+L=\frac{LR_2}{R_2-R_1}.

A área da coroa circular é a diferença entre as áreas dos dois círculos:

A=\pi\left[(x+L)^2-x^2\right]=\pi L(2x+L).

Substituindo x:

2x+L=\frac{2LR_1+L(R_2-R_1)}{R_2-R_1}=\frac{L(R_1+R_2)}{R_2-R_1}.

Portanto,

A=\frac{\pi L^2\,(R_1+R_2)}{R_2-R_1}.

A=\dfrac{\pi L^2 (R_1+R_2)}{R_2-R_1}

Assuntos: Cone e tronco de cone, Semelhança e Teorema de Tales, Círculo: comprimento, arcos e áreas.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 14 no caderno Grupos 3 e 4 da 2ª etapa da UFG 2009

Fonte: UFG 2ª etapa 2009 · 1º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4. Prova oficial ↗