Questão 15 (1º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4) da 2ª etapa da UFG 2009

Question

Uma senhora irá à feira para comprar feijão, batata e tomate. Ela deseja comprar um total de 12 quilos desses produtos, gastando para isso R$ 30,00. A quantidade, em quilos, de tomate que ela pretende levar é o dobro da quantidade de batata. Sabe-se que o quilo do feijão custa R$ 4,00 e o da batata, R$ 2,00.

De acordo com estas informações, calcule:

a) o maior intervalo de variação para o preço do tomate que ela pode pagar; (3,5 pontos)

b) quantos quilos de tomate ela comprará, caso ela compre 3 quilos de feijão. (1,5 ponto)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 15 (1º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4) da 2ª etapa da UFG 2009

1º semestre · 1º dia · Matemática: Equações do 1º grau e problemas

Uma senhora irá à feira para comprar feijão, batata e tomate. Ela deseja comprar um total de 12 quilos desses produtos, gastando para isso R$ 30,00. A quantidade, em quilos, de tomate que ela pretende levar é o dobro da quantidade de batata. Sabe-se que o quilo do feijão custa R$ 4,00 e o da batata, R$ 2,00.

De acordo com estas informações, calcule:

a) o maior intervalo de variação para o preço do tomate que ela pode pagar; (3,5 pontos)

b) quantos quilos de tomate ela comprará, caso ela compre 3 quilos de feijão. (1,5 ponto)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

a) Considerando F, B e T as quantidades, em quilos, de feijão, batata e tomate, respectivamente, e \lambda o preço do quilo do tomate, o sistema abaixo deve ser satisfeito.

\begin{cases} F + B + T = 12 \\ 4F + 2B + \lambda T = 30 \\ T = 2B \end{cases}

Substituindo-se o valor de T da terceira equação nas anteriores, obtém-se o seguinte:

\begin{cases} F + 3B = 12 \\ 4F + B(2 + 2\lambda) = 30 \end{cases}

Fazendo a diferença da segunda equação por 4 vezes a primeira, obtém-se:

B = \frac{18}{10 - 2\lambda}

Substituindo o valor de B nas equações anteriores, obtém-se:

F = 12 - \frac{54}{10 - 2\lambda} \text{ e } T = \frac{36}{10 - 2\lambda}

Como as quantidades de feijão, batata e tomate devem ser positivas, deve-se ter que

10 - 2\lambda > 0 \Rightarrow \lambda < 5\text{ .}

Como \lambda representa o preço do tomate, \lambda > 0.
Consequentemente,

0 < \lambda < 5

Considerando que será comprado feijão, deve-se ter que F > 0.
Ou seja,

12 - \frac{54}{10 - 2\lambda} > 0 \Rightarrow \lambda < 2{,}75

Usando essas informações, obtém-se que o preço do quilo do tomate, \lambda, deve satisfazer

0 < \lambda < 2{,}75

(3,5 pontos)

Critério de correção:

Atendeu plenamente ao que foi solicitado o candidato que montou corretamente o sistema de equações para o problema e se analisou corretamente o fato de que as incógnitas são positivas. Cada etapa do desenvolvimento matemático foi pontuada independentemente. Respostas parciais foram consideradas, com pontuação proporcional ao seu desenvolvimento. Respostas equivalentes foram consideradas.

b) Considerando que a senhora comprará 3 kg de feijão, as quantidades de batata e tomate devem satisfazer

\begin{cases} B + T = 9 \\ T = 2B \end{cases}

Resolvendo esse sistema, obtém-se que T = 6\text{ kg}. (1,5 pontos)

Critério de correção:

Atendeu plenamente ao que foi solicitado o candidato que utilizou corretamente as informações e resolveu corretamente o sistema de equações. Cada etapa do desenvolvimento matemático foi pontuada independentemente. Respostas parciais foram consideradas, com pontuação proporcional ao seu desenvolvimento. Respostas equivalentes foram consideradas.

Ver como a UFG publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Sejam f, b e t as quantidades (em kg) de feijão, batata e tomate, e p o preço do quilo do tomate, em R$. As condições do enunciado dão:

f+b+t=12
t=2b
4f+2b+p\,t=30

Substituindo t=2b na primeira equação, f=12-3b. Na terceira:

4(12-3b)+2b+2bp=30 \;\Rightarrow\; 48-10b+2bp=30 \;\Rightarrow\; b(5-p)=9 \;\Rightarrow\; b=\frac{9}{5-p}.

Agora aplicamos as condições de existência. Ela compra os três produtos, então b>0 e f>0.

b>0 exige 5-p>0, isto é, p<5.
f>0 exige 12-3b>0, isto é, b<4. Então \dfrac{9}{5-p}<4. Como 5-p>0, temos 9<20-4p, ou seja, p<\dfrac{11}{4}=2{,}75.
O preço é positivo: p>0.

Juntando tudo, o preço do tomate varia no intervalo

0<p<2{,}75, ou seja, entre R$ 0,00 e R$ 2,75 por quilo (extremos excluídos).

b) Com f=3, a primeira equação fica 3+b+2b=12, logo 3b=9 e b=3. Então t=2b=6.

Verificação: o preço do tomate sai de 12+6+6p=30, que dá p=2. Esse valor está dentro do intervalo do item (a).

Ela comprará 6 kg de tomate.

Assuntos: Equações do 1º grau e problemas, Inequações e desigualdades.

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Questão 15 no caderno Grupos 3 e 4 da 2ª etapa da UFG 2009

Fonte: UFG 2ª etapa 2009 · 1º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4. Prova oficial ↗