Questão 12 (2º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4) da 2ª etapa da UFG 2009

Question

A figura abaixo representa um troféu que o campeão de um torneio de futebol receberá.

Ilustração tridimensional de um troféu composto por três partes sobrepostas: na base inferior, um paralelepípedo retângulo; na parte intermediária, um prisma reto cuja base é um losango inscrito na face retangular superior do paralelepípedo através dos pontos médios de seus lados; no topo, apoiada sobre a face superior do prisma, uma esfera.

Este troféu é formado de três partes. A parte inferior é um paralelepípedo retângulo, cuja base é um retângulo de lados 20 cm e 30 cm e altura de 18 cm. A parte intermediária é um prisma reto, de altura 40 cm, cuja base é um losango, determinado pelos pontos médios dos lados do retângulo da face superior do paralelepípedo. Finalmente, a parte superior é uma esfera colocada sobre a face superior do prisma, cujo diâmetro é igual à metade da medida da menor diagonal da face superior do prisma.

Considerando o exposto, calcule o volume desse troféu. (5,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 (2º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4) da 2ª etapa da UFG 2009

2º semestre · 1º dia · Matemática: Prismas e paralelepípedos

A figura abaixo representa um troféu que o campeão de um torneio de futebol receberá.

Ilustração tridimensional de um troféu composto por três partes sobrepostas: na base inferior, um paralelepípedo retângulo; na parte intermediária, um prisma reto cuja base é um losango inscrito na face retangular superior do paralelepípedo através dos pontos médios de seus lados; no topo, apoiada sobre a face superior do prisma, uma esfera.

Este troféu é formado de três partes. A parte inferior é um paralelepípedo retângulo, cuja base é um retângulo de lados 20 cm e 30 cm e altura de 18 cm. A parte intermediária é um prisma reto, de altura 40 cm, cuja base é um losango, determinado pelos pontos médios dos lados do retângulo da face superior do paralelepípedo. Finalmente, a parte superior é uma esfera colocada sobre a face superior do prisma, cujo diâmetro é igual à metade da medida da menor diagonal da face superior do prisma.

Considerando o exposto, calcule o volume desse troféu. (5,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

Seja V_1 o volume da parte inferior do troféu. Assim, V_1 = 20 \times 30 \times 18 = 10.800\text{ cm}^3

Seja V_2 o volume da parte intermediária do troféu (prisma reto de base losangular). Observando a figura a seguir, calcula-se a área, A, da base desse prisma:

[Figura: retângulo com dimensões 30 cm de comprimento e 20 cm de largura contendo um losango cinza inscrito com vértices nos pontos médios dos quatro lados]

A = 2 \begin{pmatrix} \frac{20 \times 15}{2} \end{pmatrix} = 300\text{ cm}^2

Logo,

V_2 = 300 \times 40 = 12.000\text{ cm}^3

Seja V_3 o volume da esfera. O seu diâmetro é a metade da menor diagonal do losango destacado na figura anterior. Logo, seu diâmetro é 10\text{ cm} e seu raio é 5\text{ cm}.

Assim, V_3 = \frac{4}{3}\ \pi\ 5^3 = \pi\ \frac{500}{3} \approx 166,67\ \pi \approx 523,33\text{ cm}^3

Desse modo, o volume do material usado na fabricação deste troféu é:

V_1 + V_2 + V_3 = 10.800 + 12.000 + 523,33 \approx 23.323,33\text{ cm}^3

(5,0 pontos)

Critérios de correção:

A resposta atendeu plenamente ao que foi solicitado quando o candidato calculou corretamente os volumes de cada parte do troféu, de acordo com a figura apresentada, e efetuou a soma. Cada etapa do desenvolvimento matemático foi pontuada independentemente. Respostas parciais foram consideradas, com pontuação proporcional ao seu desenvolvimento. Respostas equivalentes foram consideradas.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

O troféu tem três partes, então somamos os três volumes.

Paralelepípedo (base):

V_1 = 20\cdot 30\cdot 18 = 10\,800\ \text{cm}^3

Prisma (parte intermediária): a base é o losango formado pelos pontos médios dos lados do retângulo 20\times 30. As diagonais do losango ligam pontos médios de lados opostos, então são paralelas aos lados do retângulo e medem 20 cm e 30 cm.

A área da base é

A=\frac{D\cdot d}{2}=\frac{30\cdot 20}{2}=300\ \text{cm}^2

e o volume é

V_2 = 300\cdot 40 = 12\,000\ \text{cm}^3

Esfera: a menor diagonal do losango mede 20 cm. O diâmetro da esfera é a metade disso, 10 cm, logo o raio é r=5 cm.

V_3=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi\cdot 125=\frac{500\pi}{3}\ \text{cm}^3

Volume total:

V=10\,800+12\,000+\frac{500\pi}{3}=22\,800+\frac{500\pi}{3}\ \text{cm}^3

Com \pi\approx 3{,}14, isso dá aproximadamente 23\,323\ \text{cm}^3.

V = \left(22\,800+\dfrac{500\pi}{3}\right)\ \text{cm}^3 \approx 2{,}33\times10^{4}\ \text{cm}^3

Assuntos: Prismas e paralelepípedos, Áreas e perímetros de polígonos, Esfera.

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Questão 12 no caderno Grupos 3 e 4 da 2ª etapa da UFG 2009

Fonte: UFG 2ª etapa 2009 · 2º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4. Prova oficial ↗