Questão 11 (1º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2009

Question

O eucalipto é muito usado para a produção de papéis e celulose por causa da qualidade da matéria-prima e seu curto ciclo de vida. Um produtor de eucalipto possui uma plantação de determinada espécie adequada ao clima e ao tipo de solo de sua região. Essa espécie tem seu crescimento modelado pela função h(t)=50\cdot(1-10^{-kt}), onde h é a altura (em metros) em função do tempo t (em anos) e k é uma constante. Sabe-se que esse eucalipto alcança a altura de 10\text{ m} em 2 anos e que o produtor realizará o corte quando as árvores tiverem 8 anos.

Com base nestas informações, calcule o valor da constante k e a altura que os eucaliptos terão, em metros, quando o produtor for realizar o corte. (5,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 11 (1º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2009

1º semestre · 2º dia · Matemática: Função exponencial

O eucalipto é muito usado para a produção de papéis e celulose por causa da qualidade da matéria-prima e seu curto ciclo de vida. Um produtor de eucalipto possui uma plantação de determinada espécie adequada ao clima e ao tipo de solo de sua região. Essa espécie tem seu crescimento modelado pela função h(t)=50\cdot(1-10^{-kt}), onde h é a altura (em metros) em função do tempo t (em anos) e k é uma constante. Sabe-se que esse eucalipto alcança a altura de 10\text{ m} em 2 anos e que o produtor realizará o corte quando as árvores tiverem 8 anos.

Com base nestas informações, calcule o valor da constante k e a altura que os eucaliptos terão, em metros, quando o produtor for realizar o corte. (5,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

Pelas informações, tem-se que

h(2)=10

Substituindo na expressão de h, obtém-se a equação

50(1-10^{-2k})=10

Resolvendo esta equação exponencial, encontra-se o valor de k como sendo

k=\frac{-1}{2}\log_{10}\left(\frac{4}{5}\right)

Os eucaliptos serão cortados quando estiverem com 8 anos.
Logo, deve-se calcular h(8) .

Segue que

h(8)=50\left[1-10^{-8\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot\log_{10}(4/5)}\right]

Portanto, a altura dos eucaliptos, quando for realizado o corte, será:

h(8)=50\left(1-10^{\log_{10}((4/5)^4)}\right)=50\left(1-\frac{256}{625}\right)=50\cdot\frac{369}{625}=\frac{738}{25}=29{,}52\text{ m.}

(5,0 pontos)

Critério de correção

Atendeu plenamente ao que foi solicitado o candidato que utilizou corretamente as propriedades do logaritmo e/ou exponencial e interpretou corretamente as informações relativas à função h(t). Cada etapa do desenvolvimento matemático foi pontuada independentemente. Respostas parciais foram consideradas, com pontuação proporcional ao seu desenvolvimento. Respostas equivalentes foram consideradas.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Usamos o dado h(2)=10 para achar k:

50\cdot(1-10^{-2k})=10 \Rightarrow 1-10^{-2k}=\dfrac{1}{5} \Rightarrow 10^{-2k}=\dfrac{4}{5}.
Aplicando \log nos dois lados: -2k=\log\dfrac{4}{5}=2\log 2-\log 5.
Como \log 5=1-\log 2, temos -2k=3\log 2-1, ou seja, k=\dfrac{1-3\log 2}{2}.

Com \log 2\approx 0{,}301, resulta k\approx 0{,}0485.

k=\dfrac{1-3\log 2}{2}\approx 0{,}05

b) Para a altura no corte, basta calcular h(8). Em vez de usar o valor aproximado de k, podemos aproveitar o resultado do item anterior. Como 8k = 4\cdot 2k:

10^{-8k}=\left(10^{-2k}\right)^4=\left(\frac{4}{5}\right)^4=\frac{256}{625}.

Então:

h(8)=50\left(1-\frac{256}{625}\right)=50\cdot\frac{369}{625}=\frac{738}{25}=29{,}52\ \text{m}.

Altura no corte: 29{,}52\ \text{m} (aproximadamente 29{,}5\ \text{m}).

Assuntos: Função exponencial, Logaritmos e função logarítmica.

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Questão 11 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2009

Fonte: UFG 2ª etapa 2009 · 1º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗