Questão 12 (1º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2009

Question

A figura abaixo representa uma região, na forma de um trapézio isósceles, de base menor SR medindo b e base maior PQ medindo 100 m, cujo perímetro total é 250 m.

Trapézio isósceles PQRS com base inferior PQ, base superior SR de medida b, lados oblíquos de medida a, altura h baixada do vértice S perpendicularmente à base PQ, e ângulo interno medindo θ no vértice P.

De acordo com estes dados, calcule:

a) as medidas de a e b, considerando \theta=60^\circ; (2,5 pontos)

b) a área A, da região delimitada pelo trapézio PQRS, em função de a. (2,5 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 (1º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2009

1º semestre · 2º dia · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

A figura abaixo representa uma região, na forma de um trapézio isósceles, de base menor SR medindo b e base maior PQ medindo 100 m, cujo perímetro total é 250 m.

Trapézio isósceles PQRS com base inferior PQ, base superior SR de medida b, lados oblíquos de medida a, altura h baixada do vértice S perpendicularmente à base PQ, e ângulo interno medindo θ no vértice P.

De acordo com estes dados, calcule:

a) as medidas de a e b, considerando \theta=60^\circ; (2,5 pontos)

b) a área A, da região delimitada pelo trapézio PQRS, em função de a. (2,5 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

a) Como o perímetro total é 250 m, tem-se que

2a+b=150

Como o trapézio é isósceles, segue-se que

\overline{PD}=\frac{100-b}{2}

Considerando \theta=60^\circ, obtém-se que

\cos(60^\circ)=\frac{100-b}{2a}\Rightarrow a+b=100

Utilizando-se estes fatos, a e b devem satisfazer o sistema

\begin{cases} 2a+b=150 \\ a+b=100 \end{cases}

Resolvendo este sistema, obtém-se que

a=b=50\text{ m}

(2,5 pontos)

Critério de correção:

Atendeu plenamente ao que foi solicitado o candidato que utilizou corretamente as informações sobre o perímetro da figura e as relações métricas. Cada etapa do desenvolvimento matemático foi pontuada independentemente. Respostas parciais foram consideradas, com pontuação proporcional ao seu desenvolvimento. Respostas equivalentes foram consideradas.

b) A área do trapézio é dada por

A=\frac{h}{2}(100+b)

Sabendo-se que o triângulo PDS é retângulo,

[Figura: Esquema de um trapézio isósceles de vértices superiores S e R com lado SR = b, e vértices inferiores P e Q. Os lados não paralelos medem PS = RQ = a. A altura baixada do vértice S até a base maior no ponto D mede h, delimitando o triângulo retângulo PDS com ângulo \theta no vértice P. O segmento central da base maior, projeção de SR, mede b.]

obtém-se

a^2=h^2+\left(\frac{100-b}{2}\right)^2

Por outro lado, como o perímetro total do trapézio é igual 250 m, tem-se que

b=150-2a

Segue-se dessa relação que

\frac{100-b}{2}=\frac{-50+2a}{2}=a-25

Substituindo-se na expressão anterior, obtém-se que

h^2=a^2-(a-25)^2=50a-625\Rightarrow h=\sqrt{50a-625}

Usando-se todas essas informações, obtém-se que a área do trapézio em metros quadrados é dada por

A(a)=\frac{\sqrt{50a-625}}{2}(250-2a)=\sqrt{50a-625}(125-a)=5(125-a)\sqrt{2a-25}

(2,5 pontos)

Critério de correção:

Atendeu plenamente ao que foi solicitado o candidato que utilizou corretamente as propriedades de um trapézio isósceles e o Teorema de Pitágoras. Cada etapa do desenvolvimento matemático foi pontuada independentemente. Respostas parciais foram consideradas, com pontuação proporcional ao seu desenvolvimento. Respostas equivalentes foram consideradas.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) O perímetro dá 100 + b + 2a = 250, ou seja, b = 150 - 2a.

Baixando as alturas de S e de R, cada lado oblíquo tem projeção a\cos\theta sobre PQ. Com \theta = 60^\circ, essa projeção vale a\cdot\frac{1}{2} = \frac{a}{2}. Então:

PQ = b + 2\cdot\frac{a}{2} = b + a = 100 \Rightarrow b = 100 - a.

Igualando as duas expressões de b:

100 - a = 150 - 2a \Rightarrow a = 50 \text{ e } b = 50.

Conferindo o perímetro: 100 + 50 + 2\cdot 50 = 250 m.

a = 50\ \text{m} e b = 50\ \text{m}

b) Agora \theta é qualquer. A área é A = \frac{(PQ + b)\,h}{2}.

Do perímetro, b = 150 - 2a. Então PQ + b = 250 - 2a e \frac{PQ+b}{2} = 125 - a.
A projeção de cada lado oblíquo sobre PQ é \frac{100 - b}{2} = \frac{100 - 150 + 2a}{2} = a - 25.
Pelo teorema de Pitágoras no triângulo retângulo de hipotenusa a:

h^2 = a^2 - (a-25)^2 = 50a - 625 = 25(2a - 25) \Rightarrow h = 5\sqrt{2a-25}.

Portanto:

A = (125 - a)\cdot 5\sqrt{2a - 25}.

Isso vale para 25 < a < 75, pois é preciso ter a - 25 > 0 e b = 150 - 2a > 0.

Teste com a = 50: A = 5\cdot 75\cdot\sqrt{75} = 1875\sqrt{3}\ \text{m}^2. Diretamente, \frac{(100+50)}{2}\cdot 25\sqrt{3} = 1875\sqrt{3}, o mesmo valor.

A(a) = 5(125 - a)\sqrt{2a - 25}\ \text{m}^2

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Trigonometria no triângulo retângulo.

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Questão 12 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2009

Fonte: UFG 2ª etapa 2009 · 1º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗