Questão 11 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2009

Question

A figura abaixo representa um terreno na forma de um trapézio, com 12.000\ \text{m}^2, sendo que \overline{AB} = 300\ \text{m} e \overline{DC} = 200\ \text{m}.

O proprietário do terreno pretende dividi-lo em três partes. A parte III tem área correspondendo a 12\% da área total do terreno. O restante do terreno, que tem a forma de um trapézio isósceles, será dividido em duas partes, I e II, cujas áreas estão na proporção de 2 para 3, respectivamente. De acordo com essas informações, calcule a medida do segmento AP. (5,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 11 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2009

2º semestre · 2º dia · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

A figura abaixo representa um terreno na forma de um trapézio, com 12.000\ \text{m}^2, sendo que \overline{AB} = 300\ \text{m} e \overline{DC} = 200\ \text{m}.

O proprietário do terreno pretende dividi-lo em três partes. A parte III tem área correspondendo a 12\% da área total do terreno. O restante do terreno, que tem a forma de um trapézio isósceles, será dividido em duas partes, I e II, cujas áreas estão na proporção de 2 para 3, respectivamente. De acordo com essas informações, calcule a medida do segmento AP. (5,0 pontos)

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Resposta esperada pela UFG

Seja h a altura do trapézio ABCD e S=12.000\text{ m}^2 sua área. Assim, tem-se que:

S = \frac{(\overline{DC} + \overline{AB}) h}{2} = 12.000 \Rightarrow 500 h = 24.000 \Rightarrow h = 48\text{ m}

A área da parte III, A_3 , corresponde a 12% de 12.000. Logo: A_3 = 1.440\text{ m}^2 .

Assim, obtém-se que a medida do segmento \overline{EB} é:

1.440 = \frac{\overline{EB} \times 48}{2} \Rightarrow \overline{EB} = 60\text{ m}

A área da parte I, A_1 , e da parte II, A_2 , estão na proporção 4 para 6. Logo, A_1 é 40% de (A_1 + A_2) .

Ou seja:

A_1 = 0{,}4(A_1 + A_2) = 0{,}4(12.000 - A_3) = 0{,}4(12.000 - 1.440) = 0{,}4 \times 10.560 = 4.224\text{ m}^2

Observando a figura, pode-se obter a área da parte I somando-se a área do retângulo DGPQ com a área do triângulo AGD.

[Figura: Esquema geométrico do trapézio ABCD, dividido nas partes I, II e III por linhas verticais tracejadas a partir dos vértices D e C e de um ponto Q sobre DC até a base AB (nos pontos G, P e na projeção de C). O segmento vertical QP tem medida indicada de 48. Na base AB, os segmentos medem: AG = 20, a projeção de C até o ponto E mede 20, e EB mede 60. Ângulos retos são indicados nos pontos G, P e na base abaixo de C.]

Assim,

A_1 = \frac{\overline{AG} \times 48}{2} + \overline{GP} \times 48 \Rightarrow 4.224 = \frac{20 \times 48}{2} + \overline{GP} \times 48 \Rightarrow \overline{GP} = 78\text{ m}

Logo,

\overline{AP} = \overline{AG} + \overline{GP} = 20 + 78 = 98\text{ m}

(5,0 pontos)

Critérios de correção:

A resposta atendeu plenamente ao que foi solicitado quando o candidato interpretou corretamente a figura, calculou a sua altura, usou corretamente a proporção entre A_1 , a área da parte I, e A_2 , a área da parte II, e o fato de que, após retirar-se a parte III, a figura resultante é um trapézio isósceles. Cada etapa do desenvolvimento matemático foi pontuada independentemente. Respostas parciais foram consideradas, com pontuação proporcional ao seu desenvolvimento. Respostas equivalentes foram consideradas.

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Resolução comentada

a)

Primeiro achamos a altura h do trapézio ABCD pela área total:

\frac{(300+200)\cdot h}{2}=12000 \Rightarrow h=48\ \text{m}.

Região III. O triângulo EBC tem área 0{,}12\cdot 12000=1440\ \text{m}^2 e altura 48 m, então

\frac{EB\cdot 48}{2}=1440 \Rightarrow EB=60\ \text{m}\Rightarrow AE=300-60=240\ \text{m}.

Trapézio isósceles AECD. Suas bases são AE=240 e DC=200. Como é isósceles, a diferença das bases, 40 m, se reparte igualmente nas duas pontas. Logo, a projeção de D sobre AB fica a 20 m de A.

Áreas de I e II. O restante vale 12000-1440=10560\ \text{m}^2. Na proporção 2:3, a região I tem

\frac{2}{5}\cdot 10560=4224\ \text{m}^2.

Região I. É o trapézio APQD, com altura 48 e bases AP=x e DQ. Como PQ é perpendicular a AB e D está 20 m à direita de A (na horizontal), temos DQ=x-20. Então

\frac{(x+x-20)\cdot 48}{2}=4224 \Rightarrow 24(2x-20)=4224 \Rightarrow 2x-20=176 \Rightarrow x=98.

Verificação: PE=240-98=142 e QC=200-78=122, de modo que a região II vale \frac{(142+122)\cdot 48}{2}=6336=\frac{3}{5}\cdot 10560 ✓.

\boxed{AP=98\ \text{m}}

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Razão e proporção, Porcentagem.

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Questão 11 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2009

Fonte: UFG 2ª etapa 2009 · 2º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗