Questão 12 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2009

Question

Considere a matriz A_{2\times 2} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ \log x & \log(1-x) \end{bmatrix} e a função definida por f(x) = det\ A. Determine o valor de x \in Dom(f), tal que f(x) = \log 2. (5,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2009

2º semestre · 2º dia · Matemática: Logaritmos e função logarítmica

Considere a matriz A_{2\times 2} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ \log x & \log(1-x) \end{bmatrix} e a função definida por f(x) = det\ A. Determine o valor de x \in Dom(f), tal que f(x) = \log 2. (5,0 pontos)

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Resposta esperada pela UFG

Calculando o determinante, tem-se que:

f(x) = \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ \log x & \log(1-x) \end{vmatrix} = 2\log(1-x) - 2\log x = \log(1-x)^2 - \log x^2 = \log\left(\frac{(1-x)^2}{x^2}\right)

A equação f(x) = \log 2 resulta em:

\log\left(\frac{(1-x)^2}{x^2}\right) = \log 2 \Rightarrow \frac{(1-x)^2}{x^2} = 2 \Rightarrow x^2 + 2x - 1 = 0

Assim, obtém-se uma equação do segundo grau, cujas raízes são:

x_1 = -1 - \sqrt{2} \quad \text{e} \quad x_2 = -1 + \sqrt{2}

Como o domínio da função é Dom(f) = \{x \in R / 0 < x < 1\} o valor de x, tal que f(x) = \log 2 será:

x = -1 + \sqrt{2}

(5,0 pontos)

Critérios de correção:

A resposta atendeu plenamente ao que foi solicitado quando o candidato calculou corretamente o determinante, utilizou corretamente as propriedades da função logarítmica e resolveu a equação correspondente, levando em consideração o domínio da função para escolher o valor de x que satisfaz a equação. Cada etapa do desenvolvimento matemático foi pontuada independentemente. Respostas parciais foram consideradas, com pontuação proporcional ao seu desenvolvimento. Respostas equivalentes foram consideradas.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

Calculamos o determinante e depois impomos a condição f(x)=\log 2.

Domínio. Os logaritmos \log x e \log(1-x) exigem x>0 e 1-x>0. Logo \text{Dom}(f)=\{x\in\mathbb{R} : 0<x<1\}.

Determinante.

f(x)=2\log(1-x)-2\log x = 2\log\frac{1-x}{x}.

Resolvendo f(x)=\log 2.

2\log\dfrac{1-x}{x}=\log 2.
Pela propriedade da potência, \log\left(\dfrac{1-x}{x}\right)^2=\log 2.
Como o logaritmo é injetivo, \left(\dfrac{1-x}{x}\right)^2=2.
Em 0<x<1 temos \dfrac{1-x}{x}>0. Portanto \dfrac{1-x}{x}=\sqrt2, e a raiz negativa é descartada.
Então 1-x=\sqrt2\,x, ou seja, x(1+\sqrt2)=1.
Racionalizando:

x=\frac{1}{1+\sqrt2}=\frac{\sqrt2-1}{(\sqrt2+1)(\sqrt2-1)}=\sqrt2-1.

Verificação. x=\sqrt2-1\approx0{,}414 está em (0,1). Além disso, \dfrac{1-x}{x}=\dfrac{2-\sqrt2}{\sqrt2-1}=\dfrac{\sqrt2(\sqrt2-1)}{\sqrt2-1}=\sqrt2, o que confirma f(x)=2\log\sqrt2=\log 2.

Resposta: x=\sqrt2-1.

Assuntos: Logaritmos e função logarítmica, Matrizes e determinantes.

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Questão 12 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2009

Fonte: UFG 2ª etapa 2009 · 2º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗