Questão 16 (1º dia · Grupos 3 e 4) da 2ª etapa da UFG 2008

Question

Os “Sulbasutras” são manuscritos que foram escritos pelos habitantes do noroeste da Índia por volta de 1500 a.C. Eles trazem instruções para a realização de cerimônias religiosas que requeriam a construção de altares em formatos combinados de triângulos, retângulos e trapézios. Uma dessas instruções é um método para construir um quadrado a partir de dois quadrados menores. Denotando-se por ABCD e PQRS os dois quadrados menores na figura abaixo, marca-se um ponto X no lado DC, de modo que \overline{DX} = \overline{PQ}; em seguida, liga-se A e X e constrói-se o novo quadrado AXFE.

Quadrado PQRS Quadrado ABCD com o quadrado AXFE construído a partir do segmento AX e a região ABGFE sombreada

Sabendo que \overline{PQ} = 2\text{ m} e \overline{AD} = 4\text{ m}, calcule a área da região sombreada ABGFE.

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Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 (1º dia · Grupos 3 e 4) da 2ª etapa da UFG 2008

1º dia · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Os “Sulbasutras” são manuscritos que foram escritos pelos habitantes do noroeste da Índia por volta de 1500 a.C. Eles trazem instruções para a realização de cerimônias religiosas que requeriam a construção de altares em formatos combinados de triângulos, retângulos e trapézios. Uma dessas instruções é um método para construir um quadrado a partir de dois quadrados menores. Denotando-se por ABCD e PQRS os dois quadrados menores na figura abaixo, marca-se um ponto X no lado DC, de modo que \overline{DX} = \overline{PQ}; em seguida, liga-se A e X e constrói-se o novo quadrado AXFE.

Quadrado PQRS Quadrado ABCD com o quadrado AXFE construído a partir do segmento AX e a região ABGFE sombreada

Sabendo que \overline{PQ} = 2\text{ m} e \overline{AD} = 4\text{ m}, calcule a área da região sombreada ABGFE.

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Resposta esperada pela UFG

[Figura: Ilustração geométrica mostrando um quadrado menor PQRS à esquerda e, à direita, um quadrado maior ABCD sobreposto parcialmente pelo quadrado AXFE, cujo vértice X pertence ao lado CD e o lado XF intersecta o lado BC no ponto G. A região poligonal ABGFE está sombreada em cinza.]

Como \overline{AD} = 4\text{ m} e \overline{PQ} = 2\text{ m}, segue-se que \overline{DX} = \overline{PQ} = 2\text{ m}

A área do novo quadrado, AXFE, é \overline{AX}^2. Como o \Delta ADX é retângulo em D, segue-se, pelo teorema de Pitágoras, que:

\overline{AX}^2 = \overline{AD}^2 + \overline{DX}^2 = 4^2 + 2^2 = 20

Portanto, a área do novo quadrado é S_{AXFE} = 20\text{ m}^2.

A área da região ABGFE é dada por

S = S_{AXFE} - S_{ABGX} = 20 - S_{ABGX}

Portanto, para determinar S, basta calcular S_{ABGX}, a área da região ABGX.

Sabe-se que

S_{ABGX} + S_{AXD} + S_{XGC} = 16

S_{ABGX} + \frac{4 \cdot 2}{2} + S_{XGC} = 16

S_{ABGX} + S_{XGC} = 12

S_{ABGX} = 12 - S_{XGC}

Para calcular a área do triângulo XGC, deve-se calcular a medida do segmento \overline{CG}.

Como os triângulos AXD e XGC são semelhantes, tem-se que:

\frac{\overline{CG}}{\overline{DX}} = \frac{\overline{XC}}{\overline{AD}} \Rightarrow \frac{\overline{CG}}{2} = \frac{2}{4} \Rightarrow \overline{CG} = 1\text{ m}

Logo, S_{XGC} = \frac{2 \cdot 1}{2} = 1\text{ m}^2

Segue-se daí que S_{ABGX} = 12 - S_{XGC} = 12 - 1 = 11\text{ m}^2

Portanto, a área da região ABGFE é

S = 20 - S_{ABGX} = 20 - 11 = 9\text{ m}^2

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Resolução comentada

a) Como AD = 4\ \text{m} e DX = PQ = 2\ \text{m}, temos XC = 2\ \text{m}. No triângulo retângulo ADX:

AX^2 = 4^2 + 2^2 = 20

Logo, o quadrado AXFE tem área 20\ \text{m}^2.

A região sombreada é o quadrado AXFE sem a parte que está dentro de ABCD, que é o quadrilátero AXGB. Então:

\text{Área sombreada} = 20 - \text{área}(AXGB)

Para achar G, note que \angle AXG = 90^\circ. Assim, \angle DXA + \angle CXG = 90^\circ, e os triângulos retângulos ADX e XCG são semelhantes. No triângulo ADX, \tg(\angle DXA) = \frac{AD}{DX} = 2. Logo, \tg(\angle CXG) = \frac12 e

CG = XC \cdot \frac12 = 1\ \text{m}

O quadrilátero AXGB é o quadrado ABCD sem os triângulos ADX e XCG:

Área de ABCD: 16\ \text{m}^2.
Área de ADX: \frac{4\cdot 2}{2} = 4\ \text{m}^2.
Área de XCG: \frac{2\cdot 1}{2} = 1\ \text{m}^2.
Área de AXGB: 16 - 4 - 1 = 11\ \text{m}^2.

Portanto, a área sombreada é 20 - 11 = 9\ \text{m}^2.

Área de ABGFE = 9\ \text{m}^2

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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Questão 16 no caderno Grupos 3 e 4 da 2ª etapa da UFG 2008

Fonte: UFG 2ª etapa 2008 · 1º dia · Grupos 3 e 4. Prova oficial ↗