Questão 5 (2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2007

Question

A figura abaixo representa uma seqüência de cinco retângulos e um quadrado, todos de mesmo perímetro, sendo que a base e a altura do primeiro retângulo da esquerda medem 1 cm e 9 cm, respectivamente. Da esquerda para a direita, as medidas das bases desses quadriláteros crescem, e as das alturas diminuem, formando progressões aritméticas de razões a e b, respectivamente. Calcule as razões dessas progressões aritméticas. (5,0 pontos)

Sequência de cinco retângulos e um quadrado dispostos lado a lado, em que as bases aumentam e as alturas diminuem da esquerda para a direita. O primeiro retângulo tem base de medida 1 e altura de medida 9, e a última figura à direita é um quadrado.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2007

2º dia · Matemática: Progressão aritmética

A figura abaixo representa uma seqüência de cinco retângulos e um quadrado, todos de mesmo perímetro, sendo que a base e a altura do primeiro retângulo da esquerda medem 1 cm e 9 cm, respectivamente. Da esquerda para a direita, as medidas das bases desses quadriláteros crescem, e as das alturas diminuem, formando progressões aritméticas de razões a e b, respectivamente. Calcule as razões dessas progressões aritméticas. (5,0 pontos)

Sequência de cinco retângulos e um quadrado dispostos lado a lado, em que as bases aumentam e as alturas diminuem da esquerda para a direita. O primeiro retângulo tem base de medida 1 e altura de medida 9, e a última figura à direita é um quadrado.

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Resolução comentada

a) A figura tem seis quadriláteros: cinco retângulos e, por último, um quadrado. Assim, bases e alturas formam PAs de 6 termos.

Bases: b_n = 1 + (n-1)a. Alturas: h_n = 9 + (n-1)b.

Todas as figuras têm o mesmo perímetro, então a soma base + altura é constante. Pela primeira figura, essa soma vale 1 + 9 = 10 cm.

Para qualquer n:

1 + (n-1)a + 9 + (n-1)b = 10 \Rightarrow (n-1)(a+b)=0 \Rightarrow b=-a.

A última figura é um quadrado, ou seja, base e altura iguais no sexto termo (n=6):

1 + 5a = 9 + 5b = 9 - 5a

10a = 8 \Rightarrow a = \frac{4}{5} = 0{,}8.

Logo b = -0{,}8.

Conferindo, as bases são 1;\ 1{,}8;\ 2{,}6;\ 3{,}4;\ 4{,}2;\ 5 e as alturas são 9;\ 8{,}2;\ 7{,}4;\ 6{,}6;\ 5{,}8;\ 5. Cada par soma 10 e o último é o quadrado de lado 5 cm.

As razões são a = \frac{4}{5} cm e b = -\frac{4}{5} cm.

Assuntos: Progressão aritmética, Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 5 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2007

Fonte: UFG 2ª etapa 2007 · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗