Questão 4 (2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2007

Question

Para dar sustentação a um poste telefônico, utilizou-se um outro poste com 8\text{ m} de comprimento, fixado ao solo a 4\text{ m} de distância do poste telefônico, inclinado sob um ângulo de 60^\circ, conforme a figura abaixo.

Esquema geométrico mostrando um poste telefônico vertical apoiado no solo e um poste de sustentação de 8 m inclinado, formando ângulo de 60° com o solo à esquerda da sua base. Uma linha reta, indicada como "cabo", conecta a extremidade superior do poste inclinado ao topo do poste vertical.

Considerando-se que foram utilizados 10\text{ m} de cabo para ligar os dois postes, determine a altura do poste telefônico em relação ao solo.

(5,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2007

2º dia · Matemática: Trigonometria no triângulo retângulo

Para dar sustentação a um poste telefônico, utilizou-se um outro poste com 8\text{ m} de comprimento, fixado ao solo a 4\text{ m} de distância do poste telefônico, inclinado sob um ângulo de 60^\circ, conforme a figura abaixo.

Esquema geométrico mostrando um poste telefônico vertical apoiado no solo e um poste de sustentação de 8 m inclinado, formando ângulo de 60° com o solo à esquerda da sua base. Uma linha reta, indicada como "cabo", conecta a extremidade superior do poste inclinado ao topo do poste vertical.

Considerando-se que foram utilizados 10\text{ m} de cabo para ligar os dois postes, determine a altura do poste telefônico em relação ao solo.

(5,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

Considerando-se \overline{DE} = \overline{CB} = y e \overline{BE} = 4 + x, como na figura abaixo, tem-se que:

[Figura: Esquema geométrico com uma linha horizontal na base contendo os pontos C, A e D. O segmento inclinado AB forma um ângulo de 60^\circ no vértice A em relação ao solo. Do ponto B, uma linha pontilhada vertical desce até C com comprimento indicado por y, e o segmento CA tem comprimento indicado por x. Uma linha pontilhada horizontal parte de B até o ponto E sobre o poste vertical DF, que está fincado em D. O segmento BF liga o ponto B ao topo F do poste, formando o triângulo retângulo BEF.]

sen60^\circ = \frac{y}{8} \Rightarrow y = 8sen60^\circ \Rightarrow y = 4\sqrt{3} e \cos 60^\circ = \frac{x}{8} \Rightarrow x = 8\cos 60^\circ \Rightarrow x = 4

Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo BEF, obtém-se que
\overline{EF}^2 = 10^2 - \overline{BE}^2 = 10^2 - 8^2 = 36 \Rightarrow \overline{EF} = 6.

Assim, a altura do poste é igual a \overline{DF} = \overline{EF} + \overline{DE} = 6 + 4\sqrt{3} \cong 12{,}92\text{ m}.

(5,0 pontos)

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Resolução comentada

a) Coloque a base do poste inclinado na origem do solo. O poste telefônico fica a 4\ \text{m} dessa base, à direita, e o poste inclinado se abre para a esquerda, formando 60^\circ com o solo.

O topo do poste inclinado está a:

altura: 8\,\sen 60^\circ = 8\cdot\dfrac{\sqrt3}{2} = 4\sqrt3\ \text{m};
distância horizontal da sua base: 8\cos 60^\circ = 8\cdot\dfrac12 = 4\ \text{m}, para a esquerda.

Como o poste telefônico está 4\ \text{m} à direita da base, a distância horizontal entre o topo do poste inclinado e o poste telefônico é 4+4=8\ \text{m}.

O cabo de 10\ \text{m} é a hipotenusa de um triângulo retângulo. Um cateto é horizontal, com 8\ \text{m}, e o outro é a diferença h' entre as alturas dos dois postes:

h'^2 + 8^2 = 10^2 \Rightarrow h'^2 = 36 \Rightarrow h' = 6\ \text{m}

O topo do poste telefônico está acima do topo do poste inclinado, como mostra a figura. Então a altura do poste telefônico é:

H = 4\sqrt3 + 6\ \text{m} \approx 12{,}9\ \text{m}

H = (6+4\sqrt3)\ \text{m} \approx 12{,}9\ \text{m}

Assunto: Trigonometria no triângulo retângulo.

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Questão 4 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2007

Fonte: UFG 2ª etapa 2007 · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗