Questão 18 (2º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2007

Question

Uma empresa de engenharia fabrica blocos na forma de um prisma, cuja base é um octógono regular de lado 20 cm e altura 1 m. Para fabricar esses blocos, a empresa utiliza um molde na forma de um cilindro circular reto, cujo raio da base e a altura medem 1 m, conforme a figura abaixo. Calcule o volume do material necessário para fabricar o molde para esses blocos.\t**(5,0 pontos)**

Cilindro circular reto de altura 1 m com um orifício vazado central na forma de prisma reto de base octogonal regular ao longo de toda a sua altura.

Use:
\tg(67{,}5^\circ) = 2{,}41

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 18 (2º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2007

2º dia · Matemática: Prismas e paralelepípedos

Uma empresa de engenharia fabrica blocos na forma de um prisma, cuja base é um octógono regular de lado 20 cm e altura 1 m. Para fabricar esses blocos, a empresa utiliza um molde na forma de um cilindro circular reto, cujo raio da base e a altura medem 1 m, conforme a figura abaixo. Calcule o volume do material necessário para fabricar o molde para esses blocos.\t**(5,0 pontos)**

Cilindro circular reto de altura 1 m com um orifício vazado central na forma de prisma reto de base octogonal regular ao longo de toda a sua altura.

Use:
\tg(67{,}5^\circ) = 2{,}41

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Resolução comentada

a) O material do molde é o cilindro menos o orifício em forma de prisma octogonal, que corre ao longo de toda a altura de 1 m.

Volume do cilindro:

V_c=\pi r^2 h=\pi\cdot 1^2\cdot 1=\pi\ \text{m}^3

Área da base do prisma: o octógono regular se divide em 8 triângulos isósceles congruentes, com vértice no centro. Cada um tem base igual ao lado, \ell=20\ \text{cm}=0{,}2\ \text{m}.

O ângulo central de cada triângulo é 360^\circ/8=45^\circ. Logo, os ângulos da base medem (180^\circ-45^\circ)/2=67{,}5^\circ.

O apótema a é a altura desse triângulo. Ele forma, com metade do lado, um triângulo retângulo:

\tg 67{,}5^\circ=\frac{a}{\ell/2}\Rightarrow a=0{,}1\cdot 2{,}41=0{,}241\ \text{m}

A área da base do octógono é:

A=8\cdot\frac{0{,}2\cdot 0{,}241}{2}=8\cdot 0{,}0241=0{,}1928\ \text{m}^2

Volume do prisma:

V_p=A\cdot h=0{,}1928\cdot 1=0{,}1928\ \text{m}^3

Volume do material:

V=V_c-V_p=\pi-0{,}1928\ \text{m}^3

Com \pi\approx 3{,}14, obtemos V\approx 2{,}95\ \text{m}^3.

Resposta: V=(\pi-0{,}1928)\ \text{m}^3\approx 2{,}95\ \text{m}^3

Assuntos: Prismas e paralelepípedos, Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 18 no caderno Grupo 2 da 2ª etapa da UFG 2007

Fonte: UFG 2ª etapa 2007 · 2º dia · Grupo 2. Prova oficial ↗