Questão 7 (2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2006

Question

A figura abaixo representa um triângulo retângulo ABC e um quadrado cujo lado é igual à altura relativa à hipotenusa AB. Admitindo que AB mede 10\text{ cm} e que a área do quadrado é a metade da área do triângulo ABC, calcule:

a) o perímetro do quadrado; (2,5 pontos)

b) a área do triângulo BDE. (2,5 pontos)

Triângulo retângulo ABC com ângulo reto em C e hipotenusa AB sobre a horizontal. A altura h relativa à hipotenusa vai de C até AB. Há um quadrado com um dos lados verticais sobre a altura h, base inferior sobre AB, com vértice D em AB e lado vertical direito cruzando a hipotenusa/cateto BC no ponto E.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 (2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2006

2º dia · Matemática: Teorema de Pitágoras e relações métricas

A figura abaixo representa um triângulo retângulo ABC e um quadrado cujo lado é igual à altura relativa à hipotenusa AB. Admitindo que AB mede 10\text{ cm} e que a área do quadrado é a metade da área do triângulo ABC, calcule:

a) o perímetro do quadrado; (2,5 pontos)

b) a área do triângulo BDE. (2,5 pontos)

Triângulo retângulo ABC com ângulo reto em C e hipotenusa AB sobre a horizontal. A altura h relativa à hipotenusa vai de C até AB. Há um quadrado com um dos lados verticais sobre a altura h, base inferior sobre AB, com vértice D em AB e lado vertical direito cruzando a hipotenusa/cateto BC no ponto E.

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

a) De acordo com o enunciado, h^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{h \cdot 10}{2}, de onde segue que h = \frac{5}{2}\text{ cm}, e conseqüentemente o perímetro do quadrado é 10\text{ cm}. (2,5 pontos)

b) A área do triângulo BDE é igual à diferença entre a área do triângulo ABC e a área do quadrado de lado h, porque o triângulo de hipotenusa CA e cateto h é congruente ao triângulo de hipotenusa CE. Então a área é igual a:

\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot \frac{5}{2} - \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4}\text{ cm}^2\text{.}

(2,5 pontos)

Critério de correção

OBS: Soluções utilizando outras propriedades dos triângulos da figura serão consideradas, desde que estejam corretas e conduzam à solução do problema.

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Resolução comentada

a) Seja h a altura relativa à hipotenusa. A área do triângulo é \frac{10\cdot h}{2}=5h. O quadrado tem lado h e área h^2, que deve ser a metade da área do triângulo:

h^2=\frac{5h}{2}\ \Rightarrow\ h=\frac{5}{2}=2{,}5\ \text{cm}

O perímetro do quadrado é 4h=4\cdot 2{,}5.

O perímetro do quadrado é 10 cm.

b) Seja H o pé da altura sobre AB. Nas relações métricas do triângulo retângulo, AH\cdot HB=h^2=\frac{25}{4} e AH+HB=10. Então HB=x satisfaz

x^2-10x+\frac{25}{4}=0\ \Rightarrow\ x=5\pm\frac{5\sqrt3}{2}.

Pela figura, HB>AH, logo HB=\dfrac{5(2+\sqrt3)}{2}.

Como HD=h=\frac52, temos

DB=HB-h=\frac{5(1+\sqrt3)}{2}.

Os triângulos BDE e BHC são semelhantes, pois DE\parallel HC. Assim,

\frac{DE}{DB}=\frac{h}{HB}\Rightarrow DE=h\cdot\frac{DB}{HB}.

Calculando a razão:

\frac{DB}{HB}=\frac{1+\sqrt3}{2+\sqrt3}=(1+\sqrt3)(2-\sqrt3)=\sqrt3-1.

Logo DE=\frac52(\sqrt3-1).

A área do triângulo BDE, retângulo em D, é

\frac12\cdot DB\cdot DE=\frac12\cdot\frac{5(\sqrt3+1)}{2}\cdot\frac{5(\sqrt3-1)}{2}=\frac{25}{8}\cdot 2=\frac{25}{4}.

A área do triângulo BDE é \dfrac{25}{4}=6{,}25\ \text{cm}^2.

Assuntos: Teorema de Pitágoras e relações métricas, Semelhança e Teorema de Tales.

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Questão 7 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2006

Fonte: UFG 2ª etapa 2006 · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗

Nos cadernos: Grupo 1, questão 7Grupo 2, questão 17Grupos 3 e 4, questão 22