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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2006

2º dia · Matemática: Progressão geométrica

A figura abaixo representa uma seqüência de quadrados \{Q_1, Q_2, Q_3, ...\}, sendo que o lado de Q_1 mede 10\text{ cm}, os vértices de Q_2 são os pontos médios dos lados de Q_1, os vértices de Q_3 são os pontos médios dos lados de Q_2, e assim sucessivamente. Calcule a soma das áreas dos quadrados: A(Q_1) + A(Q_2) + ... + A(Q_{2006}). (5,0 pontos)

Quadrado maior Q1 contendo inscrito um quadrado Q2 cujos vértices tocam os pontos médios dos lados de Q1, e dentro deste, um quadrado menor Q3 cujos vértices tocam os pontos médios dos lados de Q2.

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a) A área de Q_1 é 10^2 = 100\ \text{cm}^2.

Quando unimos os pontos médios dos lados de um quadrado de lado \ell, o novo quadrado tem lado igual à hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles de catetos \ell/2. Assim:

\ell' ^2 = \left(\frac{\ell}{2}\right)^2 + \left(\frac{\ell}{2}\right)^2 = \frac{\ell^2}{2}

Logo, cada quadrado tem metade da área do anterior (o quadrado Q_2 é o quadrado Q_1 menos 4 triângulos, cada um com 1/8 da área de Q_1, o que dá 1 - 4/8 = 1/2).

As áreas formam uma progressão geométrica com a_1 = 100 e razão q = \frac{1}{2}, com n = 2006 termos.

Soma dos n primeiros termos:

S = a_1\,\frac{1-q^{n}}{1-q} = 100\cdot\frac{1-\left(\frac12\right)^{2006}}{\frac12} = 200\left(1-\frac{1}{2^{2006}}\right)

Ou seja:

S = 200 - \frac{200}{2^{2006}} = 200 - \frac{25}{2^{2003}}\ \text{cm}^2

Resposta: S = 200\left(1-\dfrac{1}{2^{2006}}\right)\ \text{cm}^2

Assuntos: Progressão geométrica, Áreas e perímetros de polígonos.

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Ver como caiu na prova Questão 6 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2006

Fonte: UFG 2ª etapa 2006 · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗