Questão 5 (2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2006

Resolução comentada

a) Para esboçar, completamos os quadrados de cada equação.

• x^2+y^2-4y=0 \Rightarrow x^2+(y-2)^2=4, circunferência de centro C_1(0,2) e raio r_1=2.
• x^2+y^2-4x-2y+4=0 \Rightarrow (x-2)^2+(y-1)^2=1, circunferência de centro C_2(2,1) e raio r_2=1.

A distância entre os centros é d=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt5\approx 2{,}24. Como r_1-r_2=1<d<r_1+r_2=3, as circunferências são secantes.

Subtraindo as equações, obtemos a reta que contém a corda comum: 4x-2y-4=0, ou seja, y=2x-2. Substituindo na primeira equação: 5x^2-16x+12=0, logo x=2 ou x=\tfrac65. Os pontos de interseção são (2,2) e \left(\tfrac65,\tfrac25\right).

Para o desenho:

• A circunferência maior passa por (0,0), (0,4), (-2,2) e (2,2), e é tangente ao eixo x na origem.
• A menor passa por (2,0), (1,1), (3,1) e (2,2), e é tangente ao eixo x em (2,0).
• As duas se cortam em (2,2) e \left(\tfrac65,\tfrac25\right).

Esboço: duas circunferências secantes, de centros (0,2) e (2,1) e raios 2 e 1, que se cortam em (2,2) e (6/5,2/5).

b) Como as circunferências são secantes, há duas tangentes comuns, ambas externas. Elas se encontram no centro de homotetia externo P, que está na reta C_1C_2 e satisfaz \overline{PC_1}/\overline{PC_2}=r_1/r_2=2, com C_2 entre P e C_1.

Isso significa que C_2 é o ponto médio de PC_1. Assim:

Verificação: as retas por (4,0) são y=m(x-4). A condição de tangência à primeira circunferência é

As retas são y=0 e 4x+3y-16=0. A distância de C_2 a y=0 é 1. A distância de C_2 a 4x+3y-16=0 é \frac{|8+3-16|}{5}=1. Ambas são tangentes à segunda circunferência, como esperado.

Ponto de interseção: (4,0).

Assuntos: Equação da circunferência, Ponto e reta no plano cartesiano.

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