Questão 6 (2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2005

Resolução comentada

a) Completando quadrados na primeira equação:

É uma circunferência de centro C(2,1) e raio 1. Ela vai de x=1 a x=3 e de y=0 a y=2, tangenciando o eixo x em (2,0).

A reta y=mx passa pela origem. Para passar também por C(2,1), precisamos de 1=2m, ou seja, m=\frac{1}{2}. A reta é y=\frac{x}{2}.

Para o gráfico:

1. Desenhe a circunferência de centro (2,1) e raio 1.
2. Trace a reta y=\frac{x}{2} pela origem e por (2,1).
3. Essa reta contém um diâmetro, então corta a circunferência em dois pontos simétricos em relação ao centro: \left(2\pm\frac{2}{\sqrt5},\,1\pm\frac{1}{\sqrt5}\right), aproximadamente (1{,}1;\,0{,}55) e (2{,}9;\,1{,}45).

O sistema é representado pela circunferência e pela reta, e suas soluções são esses dois pontos de interseção.

Gráfico: circunferência de centro (2,1) e raio 1, cortada pela reta y=\frac{x}{2} que passa pelo centro.

b) O sistema tem duas soluções quando a reta é secante à circunferência. Isso acontece quando a distância do centro à reta é menor que o raio.

A reta é mx-y=0. A distância de C(2,1) a ela é

Como os dois lados são positivos, podemos elevar ao quadrado:

A parábola 3m^2-4m é negativa entre as raízes 0 e \frac{4}{3}.

Conferindo os extremos: m=0 dá a reta y=0, tangente em (2,0). Para m=\frac{4}{3}, d=\frac{5/3}{5/3}=1, também tangente. Nesses casos há uma só solução, então os extremos não entram.

0<m<\frac{4}{3}

Assuntos: Equação da circunferência, Ponto e reta no plano cartesiano.

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