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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2005

2º dia · Matemática: Combinações e binômio de Newton

Texto-base das questões 01 a 05 · Grupo 1

Grupo 1

SÓ ABRA QUANDO AUTORIZADO

INSTRUÇÕES

  1. Após autorização, verifique se este caderno está completo ou se apresenta imperfeições gráficas. Caso contenha defeito, solicite ao aplicador a sua troca.

  2. Este caderno contém as provas de Matemática I, Física e Química, com 8 questões cada uma. Utilize as páginas em branco, no final desse caderno, para rascunho.

  3. O desenvolvimento das questões deverá ser feito com caneta esferográfica de tinta preta ou azul, nos respectivos Cadernos de Respostas. Não basta colocar a resposta final com caneta; é preciso que você demonstre o desenvolvimento do raciocínio para chegar à resposta. Resoluções a lápis não serão corrigidas.

  4. O tempo de duração das provas de hoje é de 5 horas, incluída a leitura dos avisos e a coleta de impressão digital.

  5. A tabela periódica dos elementos químicos está disponível, para consulta, na contracapa deste caderno.

  6. AO TERMINAR, DEVOLVA OS CADERNOS DE RESPOSTAS AO APLICADOR DE PROVA.

NOME DO CANDIDATO

MATEMÁTICA I

Um campeonato de futebol é organizado com 24 clubes, previamente definidos, divididos em seis grupos ou chaves (A, B, C, D, E, F). Cada grupo tem um cabeça-de-chave, que é um dos seis primeiros colocados no campeonato anterior, enquanto os demais integrantes são escolhidos por sorteio, de modo que, primeiro, monta-se o grupo A (que tem como cabeça-de-chave o primeiro colocado no campeonato anterior), depois o grupo B (que tem o segundo colocado como cabeça-de-chave) e assim por diante.

a) Uma vez montados os grupos A e B, de quantas maneiras diferentes o grupo C poderá ser montado? (2,5 pontos)

b) Antes de iniciar o sorteio, qual a probabilidade de um clube X, que não é cabeça-de-chave, ficar no grupo B? (2,5 pontos)

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Resolução comentada

Resolução comentada

a) Os seis cabeças-de-chave já têm grupo definido. Os 18 clubes restantes são sorteados, 3 para cada grupo.

Depois de montados A e B, foram usados 3+3=6 desses clubes. Sobram 18-6=12 clubes. O grupo C já tem seu cabeça-de-chave, então falta escolher 3 dos 12 clubes restantes. A ordem não importa, porque os integrantes de um grupo formam um conjunto:

\binom{12}{3}=\frac{12\cdot 11\cdot 10}{3\cdot 2\cdot 1}=220

O grupo C pode ser montado de 220 maneiras.

b) O clube X está entre os 18 clubes que não são cabeças-de-chave. O grupo B recebe 3 deles. Basta contar os casos favoráveis (grupos de 3 que contêm X) e dividir pelo total de grupos de 3 possíveis.

  • Casos possíveis: \binom{18}{3}=816.
  • Casos favoráveis: X está no grupo e faltam 2 vagas, preenchidas entre os outros 17 clubes: \binom{17}{2}=136.
P=\frac{136}{816}=\frac{1}{6}

Outra forma de ver: as 18 vagas (6 grupos × 3) são equiprováveis para X, e 3 delas ficam no grupo B, o que dá \frac{3}{18}=\frac16.

A probabilidade é \frac{1}{6}, ou seja, cerca de 16,7%.

Assuntos: Combinações e binômio de Newton, Probabilidade: conceitos básicos.

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Ver como caiu na prova Questão 2 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2005

Fonte: UFG 2ª etapa 2005 · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗

Nos cadernos: Grupo 1, questão 2Grupo 2, questão 17