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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2005

2º dia · Matemática: Polinômios

Texto-base das questões 01 a 05 · Grupo 1

Grupo 1

SÓ ABRA QUANDO AUTORIZADO

INSTRUÇÕES

  1. Após autorização, verifique se este caderno está completo ou se apresenta imperfeições gráficas. Caso contenha defeito, solicite ao aplicador a sua troca.

  2. Este caderno contém as provas de Matemática I, Física e Química, com 8 questões cada uma. Utilize as páginas em branco, no final desse caderno, para rascunho.

  3. O desenvolvimento das questões deverá ser feito com caneta esferográfica de tinta preta ou azul, nos respectivos Cadernos de Respostas. Não basta colocar a resposta final com caneta; é preciso que você demonstre o desenvolvimento do raciocínio para chegar à resposta. Resoluções a lápis não serão corrigidas.

  4. O tempo de duração das provas de hoje é de 5 horas, incluída a leitura dos avisos e a coleta de impressão digital.

  5. A tabela periódica dos elementos químicos está disponível, para consulta, na contracapa deste caderno.

  6. AO TERMINAR, DEVOLVA OS CADERNOS DE RESPOSTAS AO APLICADOR DE PROVA.

NOME DO CANDIDATO

MATEMÁTICA I

Sendo x \in R, x \neq 1, encontre os valores de A, B e C, para os quais vale a decomposição:

\frac{x}{(x-1)(x^2 + 1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1}.

(5,0 pontos)

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Resolução comentada

Resolução comentada

a) Multiplicamos os dois lados por (x-1)(x^2+1), o que é permitido porque x \neq 1 e x^2+1>0:

x = A(x^2+1) + (Bx+C)(x-1).

Desenvolvendo o lado direito:

x = Ax^2 + A + Bx^2 - Bx + Cx - C = (A+B)x^2 + (C-B)x + (A-C).

A igualdade vale para todo x real, com x \neq 1. Dois polinômios que coincidem em infinitos pontos são idênticos, então os coeficientes são iguais. Isso dá o sistema:

  1. A + B = 0 (coeficiente de x^2)
  2. C - B = 1 (coeficiente de x)
  3. A - C = 0 (termo independente)

Da equação 3, C = A. Da equação 1, B = -A. Substituindo na equação 2:

A - (-A) = 1 \Rightarrow 2A = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{2}.

Logo B = -\dfrac{1}{2} e C = \dfrac{1}{2}.

Conferência com x=0: o lado esquerdo vale 0. O lado direito vale \dfrac{A}{-1} + C = -\dfrac12 + \dfrac12 = 0. Confere.

Outra conferência, com x=2: o lado esquerdo vale \dfrac{2}{1\cdot 5} = \dfrac25. O lado direito vale \dfrac12 + \dfrac{-1+\frac12}{5} = \dfrac12 - \dfrac1{10} = \dfrac25. Confere.

A = \dfrac{1}{2}, B = -\dfrac{1}{2} e C = \dfrac{1}{2}.

Assunto: Polinômios.

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Ver como caiu na prova Questão 3 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2005

Fonte: UFG 2ª etapa 2005 · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗