PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 7 (2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2004
O senhor João tomou uma certa quantia em dinheiro emprestado de um amigo e vai pagar, em cada mês, sem acréscimo de juros, 10% da dívida do mês anterior (saldo devedor). Calcule a quantidade mínima de meses, a partir do primeiro pagamento, que serão necessários para que o senhor João tenha pago mais da metade da dívida.
| Dado: \log_2 0{,}9 = -0{,}15 |
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Resolução comentada
Resolução comentada
a) Seja D a dívida inicial. Como não há juros e cada pagamento é de 10% do saldo devedor do mês anterior, o saldo cai 10% a cada mês, ou seja, é multiplicado por 0{,}9.
Depois de n pagamentos, o saldo devedor é:
O senhor João terá pago mais da metade da dívida quando o saldo restante for menor que a metade:
Aplicando \log_2 nos dois lados (a base é maior que 1, então o sentido da desigualdade se mantém):
Dividindo por -0{,}15, que é negativo, a desigualdade se inverte:
Como n é inteiro, o menor valor é n=7.
Conferindo: (0{,}9)^6\approx 0{,}531>0{,}5, então com 6 pagamentos ainda não se pagou mais da metade. Já (0{,}9)^7\approx 0{,}478<0{,}5, e com 7 pagamentos passa-se da metade.
São necessários no mínimo 7 meses.
Assuntos: Progressão geométrica, Logaritmos e função logarítmica.
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Fonte: UFG 2ª etapa 2004 · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗