Questão 6 (2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2004

Question

Uma ducha é fixada diretamente na parede de um banheiro. O direcionamento do jato d´água é feito modificando o ângulo entre a ducha e a parede. Considerando que essa ducha produz um jato d´água retilíneo, uma pessoa em pé, diante da ducha, recebe-o na sua cabeça quando o ângulo entre a ducha e a parede é de 60^\circ. Modificando o ângulo para 44^\circ e mantendo a pessoa na mesma posição, o jato atinge-a 0{,}70\text{ m} abaixo da posição anterior.

Nessas condições, determine a distância dessa pessoa à parede, na qual está instalada a ducha.

Dados: \operatorname{tg} 44^\circ = 0{,}96 e \operatorname{tg} 60^\circ = 1{,}73

(5,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2004

2º dia · Matemática: Trigonometria no triângulo retângulo

Uma ducha é fixada diretamente na parede de um banheiro. O direcionamento do jato d´água é feito modificando o ângulo entre a ducha e a parede. Considerando que essa ducha produz um jato d´água retilíneo, uma pessoa em pé, diante da ducha, recebe-o na sua cabeça quando o ângulo entre a ducha e a parede é de 60^\circ. Modificando o ângulo para 44^\circ e mantendo a pessoa na mesma posição, o jato atinge-a 0{,}70\text{ m} abaixo da posição anterior.

Nessas condições, determine a distância dessa pessoa à parede, na qual está instalada a ducha.

Dados: \operatorname{tg} 44^\circ = 0{,}96 e \operatorname{tg} 60^\circ = 1{,}73

(5,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

[Figura: Esquema geométrico com uma pessoa em pé diante de uma parede vertical, indicando ângulos de 60^\circ e 44^\circ no topo da parede em relação à vertical e uma distância de 0{,}7 entre dois pontos de visada na pessoa.]

Triângulos necessários para a resolução do problema

[Figura: Dois triângulos retângulos: o primeiro com ângulo superior de 60^\circ, cateto vertical adjacente y e cateto horizontal oposto x; o segundo com ângulo superior de 44^\circ, cateto vertical adjacente y + 0{,}7 e cateto horizontal oposto x.]

Considerando-se as tangentes dos ângulos indicados, obtém-se:

\operatorname{tg} 60^\circ = \frac{\text{x}}{\text{y}} \Rightarrow \text{x} = 1{,}73\text{y}

\operatorname{tg} 44^\circ = \frac{\text{x}}{\text{y} + 0{,}7} \Rightarrow \text{x} = 0{,}96(\text{y} + 0{,}7)

Destas equações obtém-se que y = \dfrac{0{,}96.0{,}7}{1{,}73 - 0{,}96} \cong 0{,}8727 e x = 1{,}5097\,\text{m}

(Será aceita resolução sem o desenho.)

(5,0 pontos)

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Resolução comentada

a) Seja d a distância da pessoa à parede e h_1, h_2 as alturas, medidas na parede, entre a ducha e o ponto onde o jato atinge a pessoa, para os ângulos de 60^\circ e 44^\circ.

A parede é vertical, e o jato, a parede e a horizontal que passa pela pessoa formam um triângulo retângulo. O ângulo \theta entre o jato e a parede tem como cateto oposto a distância d e como cateto adjacente a altura h:

\operatorname{tg}\theta=\frac{d}{h}\ \Rightarrow\ h=\frac{d}{\operatorname{tg}\theta}

Assim:

h_1=\frac{d}{1{,}73}\qquad h_2=\frac{d}{0{,}96}

Quando o ângulo diminui, o jato fica mais inclinado para baixo e atinge a pessoa mais abaixo. Isso confere com o enunciado, pois h_2>h_1 e h_2-h_1=0{,}70.

Monte a equação: \dfrac{d}{0{,}96}-\dfrac{d}{1{,}73}=0{,}70.
Coloque d em evidência: d\cdot\dfrac{1{,}73-0{,}96}{0{,}96\cdot 1{,}73}=0{,}70.
Calcule: d\cdot\dfrac{0{,}77}{1{,}6608}=0{,}70.
Isole d: d=\dfrac{0{,}70\cdot 1{,}6608}{0{,}77}\approx 1{,}51\ \text{m}.

A pessoa está a aproximadamente 1{,}5\ \text{m} da parede (cerca de 1{,}51\ \text{m}).

Assunto: Trigonometria no triângulo retângulo.

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Questão 6 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2004

Fonte: UFG 2ª etapa 2004 · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗