Questão 5 (2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2004

Question

Num quadrilátero convexo, cujas diagonais são perpendiculares, o produto da medida de suas diagonais é igual ao dobro da medida de sua área. Se os pontos A(1,1), B(2,4) e C(6,5) são vértices de um quadrilátero convexo, cujas diagonais são perpendiculares, encontre as coordenadas do quarto vértice, sabendo que sua área é \frac{41}{2}\ \text{m}^2. (5,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2004

2º dia · Matemática: Ponto e reta no plano cartesiano

Num quadrilátero convexo, cujas diagonais são perpendiculares, o produto da medida de suas diagonais é igual ao dobro da medida de sua área. Se os pontos A(1,1), B(2,4) e C(6,5) são vértices de um quadrilátero convexo, cujas diagonais são perpendiculares, encontre as coordenadas do quarto vértice, sabendo que sua área é \frac{41}{2}\ \text{m}^2. (5,0 pontos)

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[Figura: Plano cartesiano com os vértices A(1, 1), B(2, 4), C(6, 5) e D = (a, b) formando um quadrilátero, no qual as diagonais AC e BD são perpendiculares entre si.]

No desenho, o ponto D, a determinar, está sobre a diagonal BD, perpendicular à diagonal AC.

Equações das retas determinadas pelas diagonais:

• ligando os pontos A e C:
y - 1 = \frac{4}{5}(x - 1)

• ligando B e D:
y - 4 = -\frac{5}{4}(x - 2), pois é perpendicular à reta acima.

Comprimento do segmento AC

\overline{AC} = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{41}

Como a área do quadrilátero é igual à metade do produto dos comprimentos das diagonais, tem-se:

\text{Área} = \frac{\overline{AC} \times \overline{BD}}{2} = \frac{\sqrt{41} \times \overline{BD}}{2} = \frac{41}{2} \Rightarrow \overline{BD} = \sqrt{41}

Considerando D=(a,b) temos: \overline{BD} = \sqrt{(a - 2)^2 + (b - 4)^2} = \sqrt{41} \Rightarrow (a - 2)^2 + (b - 4)^2 = 41 (I)

O ponto D pertence a reta que liga D e B \Rightarrow b = -\frac{5}{4}a + \frac{13}{2}. (II)

Substituindo (II) em (I) obtém-se:

(a - 2)^2 + (b - 4)^2 = 41 \Rightarrow (a - 2)^2 + \left(-\frac{5}{4}a + \frac{13}{2} - 4\right)^2 = 41 \Leftrightarrow a^2 - 4a - 12 = 0 \Rightarrow a = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}

a = \frac{4 \pm 8}{2}.

Assim o quarto vértice é D (6, -1), pois o quadrilátero é convexo.

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a) Se as diagonais são perpendiculares, a área é \frac{d_1 d_2}{2}. Como a área vale \frac{41}{2}, temos d_1 d_2 = 41.

Os vetores entre os vértices dados são \vec{AB}=(1,3), \vec{BC}=(4,1) e \vec{AC}=(5,4). Nenhum par deles é perpendicular (produtos escalares 7, 17 e 24). Então uma das diagonais é um segmento entre dois vértices dados e a outra termina em D. Testamos as três possibilidades.

Diagonais AC e BD. Aqui |AC|=\sqrt{41}, logo |BD|=\frac{41}{\sqrt{41}}=\sqrt{41}. Como BD\perp AC, o vetor \vec{BD} é paralelo a (-4,5) e tem o mesmo módulo, então \vec{BD}=\pm(-4,5). Isso dá D=(-2,9) ou D=(6,-1).

A reta AC é 4x-5y+1=0. Para um quadrilátero convexo, B e D devem ficar em lados opostos dela:

B: 8-20+1=-11<0.
(-2,9): -8-45+1<0, mesmo lado de B, então não serve.
(6,-1): 24+5+1=30>0, lado oposto.

A reta BD cruza AC no ponto \left(\frac{126}{41},\frac{109}{41}\right), que está dentro do segmento AC. Portanto as diagonais se cortam internamente e ABCD é convexo.

Diagonais AB e CD. Aqui |AB|=\sqrt{10} e \vec{CD}=\pm\frac{41}{10}(3,-1). A reta CD cruza a reta AB no ponto (2{,}7;\ 6{,}1), que está fora do segmento AB (pois x>2). Não é convexo.

Diagonais BC e AD. Aqui |BC|=\sqrt{17} e \vec{AD}=\pm\frac{41}{17}(1,-4). A reta AD cruza a reta BC em \left(\frac{6}{17},\frac{61}{17}\right), fora do segmento BC (pois x<2). Também não serve.

Logo, o único quarto vértice possível é D=(6,-1).

D=(6,-1)

Assuntos: Ponto e reta no plano cartesiano, Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 5 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2004

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