Questão 4 (2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2004

Question

Seja x a quantidade de produtos fabricados por uma empresa. A parábola L e a reta C, conforme figura abaixo, são os gráficos das funções L(x), que representa o lucro total da empresa, e C(x), que representa o custo de produção e comercialização do produto.

Gráfico no plano cartesiano mostrando a parábola L com vértice em (500; 250.000) e a reta C que intercepta o eixo vertical em 42.500 e passa por (500; 92.500).

Se o lucro líquido é o lucro total menos o custo de produção e comercialização,

a) calcule o intervalo de variação da produção em que a empresa terá lucro; (3,5 pontos)

b) esboce o gráfico do lucro líquido. (1,5 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2004

2º dia · Matemática: Função quadrática

Seja x a quantidade de produtos fabricados por uma empresa. A parábola L e a reta C, conforme figura abaixo, são os gráficos das funções L(x), que representa o lucro total da empresa, e C(x), que representa o custo de produção e comercialização do produto.

Gráfico no plano cartesiano mostrando a parábola L com vértice em (500; 250.000) e a reta C que intercepta o eixo vertical em 42.500 e passa por (500; 92.500).

Se o lucro líquido é o lucro total menos o custo de produção e comercialização,

a) calcule o intervalo de variação da produção em que a empresa terá lucro; (3,5 pontos)

b) esboce o gráfico do lucro líquido. (1,5 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

a) L(x) = ax^2 + bx + c .

L(0) = c = 0

L(500) = a.500^2 + 500b = 250000 e L(1000) = a.1000^2 + 1000b = 0

\begin{cases} 500^2 a + 500b = 250000 \\ 1000^2 a + 1000b = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 500a + b = 500 \\ 1000a + b = 0 \end{cases} \Rightarrow 500a = -500 \Rightarrow a = -1 \text{ e } b = 1000

daí a função L é L(x) = -x^2 + 1000x .

C(x) = ax + b , C(0) = b = 42500, C(500) = 500a + 42500 = 92500 e C(x) = 100x + 42500

L(x) - C(x) = -x^2 + 900x - 42500 = 0 \Rightarrow

x = \frac{-900 \pm \sqrt{900^2 - 4 \times 42500}}{-2} = \frac{-900 \pm \sqrt{810000 - 170000}}{-2} = \frac{-900 \pm 800}{-2} \Rightarrow x = 50 \text{ ou } x = 850

Assim, o intervalo é 50 < x < 850

(3,5 pontos)

b) Gráfico do lucro líquido

[Figura: Gráfico de uma parábola com a concavidade voltada para baixo em um plano cartesiano com eixos orientados por setas. A curva intercepta o eixo vertical no ponto -42500 e o eixo horizontal nos pontos 50 e 850. O vértice da parábola está localizado no ponto de coordenadas (450, 160000), indicado por linhas pontilhadas conectando o vértice a 160000 no eixo vertical e a 450 no eixo horizontal.]

(1,5 ponto)

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Resolução comentada

a) Primeiro achamos as duas funções.

A parábola L passa pela origem e tem vértice em x=500. Pela simetria, suas raízes são 0 e 1000. Então L(x)=a\,x(x-1000). Em x=500 temos L=250\,000:

a\cdot 500\cdot(-500)=250\,000 \Rightarrow a=-1 \Rightarrow L(x)=-x^2+1000x.

A reta C passa por (0;\,42\,500) e por (500;\,92\,500). Seu coeficiente angular é

\frac{92\,500-42\,500}{500-0}=100,

logo C(x)=100x+42\,500.

O lucro líquido é

N(x)=L(x)-C(x)=-x^2+900x-42\,500.

A empresa tem lucro quando N(x)>0. Resolvendo x^2-900x+42\,500=0:

\Delta=900^2-4\cdot 42\,500=810\,000-170\,000=640\,000,\quad \sqrt{\Delta}=800,

x=\frac{900\pm 800}{2}\Rightarrow x=50 \ \text{ou}\ x=850.

Como a parábola tem concavidade para baixo, N>0 entre as raízes.

A empresa tem lucro para 50<x<850.

b) O gráfico de N(x)=-x^2+900x-42\,500 é uma parábola com concavidade para baixo. Seus pontos principais são:

Raízes: x=50 e x=850.
Intercepto com o eixo y: N(0)=-42\,500.
Vértice: x_v=\frac{900}{2}=450 e N(450)=-202\,500+405\,000-42\,500=160\,000.

Para x\ge 0, o esboço parte do ponto (0;\,-42\,500), cruza o eixo x em 50, atinge o máximo em (450;\,160\,000) e volta a cruzar o eixo x em 850, passando a valores negativos. Isso corresponde ao prejuízo para x<50 e para x>850.

Parábola com concavidade para baixo, raízes 50 e 850, vértice (450; 160.000) e ponto (0; −42.500).

Assuntos: Função quadrática, Função afim.

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Questão 4 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2004

Fonte: UFG 2ª etapa 2004 · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗

Nos cadernos: Grupo 1, questão 4Grupo 2, questão 19