Questão 3 (2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2004

Resolução comentada

a) Dividimos p(x) por q(x) pelo método da chave:

1. x^4 \div x^2 = x^2. Subtraindo x^2\,q(x) = x^4 - 9x^3 - 10x^2 de p(x), sobra -4x^3 + 40x^2 + 4x - 40.
2. -4x^3 \div x^2 = -4x. Subtraindo -4x\,q(x) = -4x^3 + 36x^2 + 40x, sobra 4x^2 - 36x - 40.
3. 4x^2 \div x^2 = 4. Subtraindo 4\,q(x) = 4x^2 - 36x - 40, o resto é 0.

Portanto o quociente é

s(x) = x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2

b) Como a divisão é exata, p(x) = q(x)\cdot s(x). Fatorando q(x), cujas raízes são 10 e -1:

O fator (x-2)^2 é sempre maior ou igual a zero e vale zero só em x=2. Para p(x)<0 precisamos de x\neq 2 e de (x-10)(x+1)<0.

O produto (x-10)(x+1) é uma parábola com concavidade para cima, negativa entre as raízes: -1<x<10.

Em x=2, que está nesse intervalo, p(2)=0 (verificação: 16-104+120+8-40=0). Esse ponto não satisfaz a desigualdade estrita e deve ser excluído.

S = \{x\in\mathbb{R} : -1<x<10 \text{ e } x\neq 2\}

Assuntos: Inequações e desigualdades, Polinômios.

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