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Questão 23 da UERJ 2021

Exame de Qualificação · Matemática

Um recipiente com a forma de uma pirâmide de base quadrada foi completamente preenchido com um líquido. Sua aresta da base mede 4\text{ cm} e a altura, 9\text{ cm}. Em seguida, todo esse líquido foi transferido para outro recipiente, com a forma de um prisma reto, sendo sua base um triângulo retângulo isósceles cujos catetos medem 4\text{ cm}. Observe as imagens:

Pirâmide invertida preenchida com líquido, indicando aresta da base igual a 4 cm e altura total de 9 cm Prisma reto de base triangular preenchido com líquido até uma altura h, com a aresta da base medindo 4 cm

Considere que as espessuras dos recipientes são desprezíveis e que as bases estão em planos horizontais, sendo as alturas definidas em relação às bases.

A altura h, em centímetros, que o líquido atingirá no segundo recipiente é:

  1. A
    10
  2. B
    8
  3. C
    6
  4. D
    4
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Resolução comentada

A ideia é que o volume do líquido não muda na transferência: o volume da pirâmide é igual ao volume do líquido no prisma.

  1. Volume da pirâmide: V = \frac{1}{3}\cdot A_{base}\cdot H. A base é um quadrado de lado 4\ \text{cm}, então A_{base}=16\ \text{cm}^2 e
V=\frac{1}{3}\cdot 16\cdot 9 = 48\ \text{cm}^3
  1. Base do prisma: triângulo retângulo isósceles de catetos 4\ \text{cm}, com área
A_{tri}=\frac{4\cdot 4}{2}=8\ \text{cm}^2

  1. O prisma é reto e fica com as bases em planos horizontais, apoiado na base triangular. O líquido ocupa então um prisma de mesma base e altura h, com volume A_{tri}\cdot h.

  2. Igualando os volumes:

8h=48 \Rightarrow h=6\ \text{cm}

A figura do segundo recipiente mostra a superfície do líquido horizontal, com o prisma deitado numa face retangular. Mas o enunciado diz que as bases estão em planos horizontais e que as alturas são medidas em relação às bases. Assim, a altura h é medida a partir da base triangular, e o cálculo acima vale.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com o cálculo; não resulta da igualdade dos volumes 8h=48.
  • BResulta de dividir 48 por 6 ou de usar uma área de base errada, em vez de 8\ \text{cm}^2.
  • DUsa a base do prisma como se fosse o quadrado de lado 4 ou o triângulo com área 12, errando a área da base.

Assuntos: volume de pirâmide, volume de prisma.

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Fonte: UERJ 2021 · Exame Único. Prova oficial ↗