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Questão 24 da UERJ 2021

Exame de Qualificação · Matemática

A figura a seguir representa uma circunferência de centro O e raio 1. Considere AC, BD e PQ diâmetros, com AC e BD perpendiculares. Observe-se ainda, que o ponto P pertence ao arco \widehat{BC} e o ponto R, ao raio OD; o segmento QR é paralelo a AC; e \alpha é a medida do ângulo C\widehat{O}P.

Circunferência de centro O, com o diâmetro horizontal AC, A à esquerda e C à direita, e o diâmetro vertical BD, B acima e D abaixo. O diâmetro PQ é oblíquo, com P no arco BC e Q na parte inferior esquerda da circunferência. R está no raio OD, e QR é horizontal, paralelo a AC. Os segmentos PQ, QR e RP delimitam o triângulo PQR, sombreado em verde. O ângulo entre OC e OP está marcado por α.

Sabendo que \sen 2\alpha = 2\sen\alpha \mathbin{.} \cos\alpha, a área do triângulo PQR é igual a:

  1. A
    \dfrac{\sen 2\alpha}{2}
  2. B
    \dfrac{\cos 2\alpha}{2}
  3. C
    \sen 2\alpha
  4. D
    \cos 2\alpha
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Resolução comentada

Coloque a origem em O, com AC no eixo horizontal. Como P está na circunferência de raio 1 e C\widehat{O}P=\alpha, temos P=(\cos\alpha,\ \sen\alpha).

PQ é diâmetro, então Q é o ponto oposto a P: Q=(-\cos\alpha,\ -\sen\alpha).

R está no raio OD, isto é, no eixo vertical, e QR é paralelo a AC (horizontal). Logo R=(0,\ -\sen\alpha).

Agora calculamos a área do triângulo PQR:

  1. Base QR: horizontal, com comprimento \cos\alpha (de x=-\cos\alpha até x=0).
  2. Altura: distância de P à reta QR, que é a reta y=-\sen\alpha. Vale \sen\alpha-(-\sen\alpha)=2\sen\alpha.
  3. Área:
A=\frac{1}{2}\cdot\cos\alpha\cdot 2\sen\alpha=\sen\alpha\cos\alpha

Usando \sen 2\alpha=2\sen\alpha\cos\alpha, obtemos \sen\alpha\cos\alpha=\dfrac{\sen 2\alpha}{2}.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Btroca seno por cosseno; a área é \sen\alpha\cos\alpha, que dá \sen 2\alpha/2, não \cos 2\alpha/2.
  • Cesquece o fator 1/2 da área do triângulo, obtendo 2\sen\alpha\cos\alpha.
  • Dusa \cos 2\alpha, que não aparece no cálculo, e também ignora o fator 1/2.

Assuntos: área do triângulo, trigonometria na circunferência, arco duplo.

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Fonte: UERJ 2021 · Exame Único. Prova oficial ↗